Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tổ Hợp

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-01-2018, 01:40 PM   #1
kenzie
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2017
Bài gởi: 12
Thanks: 2
Thanked 3 Times in 3 Posts
Bài tổ hợp VMO 2018

Cho các số nguyên dương $n$ và $d$. Xét tập hợp $S_{n}(d)$ gồm tất cả các bộ số có thứ tự $(x_1;...;x_d)$ thỏa mãn điều kiện sau:
  1. $x_{i}\in{1;2;...;n}$ với mọi chỉ số $1\leq i\leq d$.
  2. $x_{i}\neq x_{i+1}$ với mọi chỉ số $1\leq i\leq d-1$.
  3. Không tồn tại các chỉ số $1\leq i< j< k< l\leq d$ sao cho $x_i=x_k$ và $x_j=x_l$.

a)Tính số phần tử của tập hợp $S_{3}(5)$.

b)Chứng minh rằng tập hợp $S_{n}(d)$ khác rỗng khi và chỉ khi $d\leq 2n-1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kenzie is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2018, 02:54 PM   #2
tikita
Administrator

 
Tham gia ngày: Jun 2012
Bài gởi: 157
Thanks: 2
Thanked 84 Times in 53 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kenzie View Post
Cho các số nguyên dương $n$ và $d$. Xét tập hợp $S_{n}(d)$ gồm tất cả các bộ số có thứ tự $(x_1;...;x_d)$ thỏa mãn điều kiện sau:
  1. $x_{i}\in{1;2;...;n}$ với mọi chỉ số $1\leq i\leq d$.
  2. $x_{i}\neq x_{i+1}$ với mọi chỉ số $1\leq i\leq d-1$.
  3. Không tồn tại các chỉ số $1\leq i< j< k< l\leq d$ sao cho $x_i=x_k$ và $x_j=x_l$.

a)Tính số phần của tập hợp $S_{3}(5)$.

b)Chứng minh rằng tập hợp $S_{n}(d)$ khác rỗng khi và chỉ khi $d\leq 2n-1$.
Câu b: Ta có các nhận xét sau
  1. Nếu $|S_n(d)|=0$ thì $|S_n(d+1)|=0$,
  2. Nếu $|S_n(d)|>0$ với $d>1$ thì $|S_n(d-1)|>0$.
  3. Bộ $(1,2,...,n-1,n,n-1,...,2,1)$ thuộc $S_n(2n-1)$.
Từ các nhận xét trên ta dễ dàng suy ra $S_n(d)$ khác rỗng với mọi $1\leq d\leq 2n-1$. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $S_n(d)=\emptyset$ với mọi $d\geq 2n$ bằng quy nạp.
Rỏ ràng $S_1(d)=\emptyset,\forall d\geq 2.$ Giả sử $(x_1,x_2,...,x_d)\in S_n(2n)$(ở đây $d=2n$). Ta xét các trường hợp sau
  • Nếu có một số nào đó từ $1$ đến $n$ không xuất hiện trong dãy $(x_1,x_2,...,x_d)$. Khi đó $(x_1,x_2,...,x_d)\in S_{n-1}(2n)$. Rỏ ràng điều này mâu thuẩn với giả thiết quy nạp.
  • Nếu có một số nào đó từ $1$ đến $n$ chỉ xuất hiện trong dãy $(x_1,x_2,...,x_d)$ đúng một lần. Giả sử số đó là $a$.
    • Nếu $x_1=a$ hoặc $x_d=a$, khi đó xóa số đó khỏi dãy thì ta được $(x_2,x_3,...,x_d)\in S_{n-1}(2n-1)$ hoặc $(x_1,x_2,...,x_{d-1})\in S_{n-1}(2n-1)$. Rỏ ràng điều này cũng mâu thuẩn với giả thiết quy nạp.
    • Giả sử tồn tại $d>k>1$ sao cho $x_k=a$. Xóa $x_k$ ra khỏi dãy. Nếu $x_{k-1}\neq x_{k+1}$ thì ta có dãy $(x_1,x_2,...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_d)\in S_{n-1}(2n-1)$ và điều này cũng trái với giả thiết quy nạp. Nếu $x_{k-1}=x_{k+1}$ thì xóa luôn số $x_{k-1}$ ra khỏi dãy, khi đó dãy còn lại thuộc $S_{n-1}(2n-2)$ và điều này cũng trái với giả thiết quy nạp.
  • Nếu mỗi số từ $1$ đến $n$ xuất hiện trong dãy $(x_1,x_2,...,x_d)$ đúng hai lần. Không giảm tổng quát giả sử $x_1=n$ và $x_k=n$ với $1<k\leq 2n$. Kết hợp với giả thiết suy ra trong dãy $(x_2,x_3,...,x_{k-1})$ mỗi số lặp lại đúng hai lần và $k$ là số chẵn, từ đây ta có $(x_2,x_3,...,x_{k-1})\in S_m(2m)$ với $m=\dfrac{k-2}{2}$. Rỏ ràng điều này trái với giả thiết quy nạp.
Vậy ta có $S_n(d)=\emptyset, \forall d\geq 2n$. Hay bài toán hoàn toàn được chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
tikita is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to tikita For This Useful Post:
baotram (12-01-2018), MATHSCOPE (12-01-2018), son235 (12-01-2018), Thụy An (12-01-2018)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:40 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 43.31 k/47.45 k (8.74%)]