Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 28-04-2018, 04:38 PM   #1
hoangthuygiang
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: xứ đoài mộng mơ
Bài gởi: 62
Thanks: 31
Thanked 20 Times in 9 Posts
Một bài đa thức hay

Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn
$$ P\left ( 6x^3+7x^2+16x+3 \right )=P\left ( x^2+x+3 \right )P\left ( 3x+1 \right ),\forall x\in\mathbb{R}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
hoangthuygiang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-05-2018, 02:13 AM   #2
beyondinfinity
+Thành Viên+
 
beyondinfinity's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Bài gởi: 456
Thanks: 64
Thanked 215 Times in 143 Posts
Do bậc của các đa thức, đoán có thể đổi biến để đẳng thức trở thành $P(ab) = P(a)P(b)$. Thử được $2(6x^3+7x^2+16x+3)-1=(2(3x+1)-1)(2(x^2+x+3)-1)$. Đổi biến $Q(2x-1) = P(x)$.
Đổi biến thêm một lần (cho dễ viết, không đổi thì xem như $x = 6t+1$) nữa để đẳng thức trở thành:
\[ Q(xf(x))=Q(x)Q(f(x)),\]
với $f(x)$ là đa thức bậc 2. Nếu $Q(0) = 0$ (hệ số ứng với $x^0$) thì tách $Q(x) = x^tR(x)$ (nếu $\deg Q>0$, ngược lại $\deg Q = 0$ thì $Q(x)=0$ với mọi $x$) sao cho $R(0)\ne 0$, như vậy nói chung là ta đưa về tìm một đa thức $Q(x)$ với hệ số hằng khác $0$, từ đấy mọi đa thức có dạng $x^tQ(x)$ cũng thỏa mãn điều kiện yêu cầu.
Thử trước với các đa thức hằng ta được $Q(x) =1$ với mọi $x$. Đưa về xét $\deg Q \ge 1$.
\[Q(x) = x^d +ax^r+\ldots,\]
với $a\ne 0$ và $d >r\ge 0$ ($a$ và $r$ tồn tại do yêu cầu $Q(x)\ne 0$. Khai triển đẳng thức ta có:
\[(xf(x))^d + a(xf(x))^r = (xf(x))^d +af(x)^rx^d +\ldots\]
Sau khi khử $(xf(x))^d$ thì bậc lớn nhất còn lại ở hai bên khác nhau (mâu thuẫn). Vậy $Q(x)=1$ (tức là tất cả các đa thức $x^t$).
Đổi biến ngược lại thì được $P(x)=(2x-1)^t$ hoặc $P(x)\equiv 0$.
Nhận xét: Bài này chủ yếu so sánh bậc (cũng đơn giản), chỉ có phần đổi biến có vẻ nhân tạo (mò bằng cách thay $x=0$ rồi tính tạm ra $P(1)=1$, xem hệ số đầu bằng $2$ thì đoán có dạng $2x-1$), mò mẫm ra được thì làm được chứ không học được gì mới.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
beyondinfinity is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:14 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 40.93 k/45.05 k (9.13%)]