|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
28-01-2018, 11:26 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 36 Thanks: 0 Thanked 13 Times in 7 Posts | Bất phương trình hàm $f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy).$ Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $$f(x+y)+yf(x) \leqslant x+f(y)+f(xy),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$ Kosovo Mathematical Olympiad 2018 |
31-01-2018, 02:33 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
\[f\left( x \right) + kx \le f\left( x \right) + k\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] Do bất phương trình $kx\le x$ đúng với mọi $x\in\mathbb R$ nên $k=0$, lại từ $P(x;\,0)$ đúng với mọi $x$ vì thế có \[f\left( x \right) \le x + 2k = x\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(1).\] Với việc $P(x;\,-x)$ đúng với mọi $x$ có \[ - xf\left( x \right) \le x + f\left( { - x} \right) + f\left( { - {x^2}} \right) \le x + \left( { - x} \right) + \left( { - {x^2}} \right) = - {x^2}\quad\forall\,x\in\mathbb R;\;(2).\] Từ $(1)$ và $(2)$ có $f(x)=x\quad\forall\,x>0$, ta lại có $P\left(\sqrt{-x};\,-\sqrt{- x}\right)$ đúng với mọi $x<0$ vì vậy \[x = - \sqrt { - x} f\left( {\sqrt { - x} } \right) \le \sqrt { - x} + f\left(- {\sqrt { - x} } \right) + f\left( x \right) \le f\left( x \right)\quad\forall\,x<0.\] Điều này kết hợp với $(1)$ để có $f(x)=x\quad\forall\,x<0$, và vì vậy \[f(x)=x\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|