Tính chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục

[maxmin]

Cho $E = \left\{ {\left\{ {{x_n}} \right\} \subset R:{x_n} \to 0} \right\}$ là không gian tuyến tính với phép cộng hai dãy và phép nhân một số với một dãy thông thường, có chuẩn \[\left\| x \right\| = \mathop {\sup }\limits_n \left\{ {\left| {{x_n}} \right|:n = 1,2,...} \right\}\forall x = \left\{ {{x_n}} \right\} \in E\].
Giả sử: $f:E \to R$ là ánh xạ được ch bởi công thức \[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2{x_n}}}{{{n^3}}}\forall x \in E} \]
Chứng minh f tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của f.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Dễ dàng kiểm tra được $f$ là axtt. Hơn nữa với mọi $x$ ta có
\[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2{x_n}}}{{{n^3}}}} } \right| \leqslant 2\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}{{{n^3}}}} \leqslant 2 \cdot {\left\| x \right\|_\infty } \cdot \xi \left( 3 \right)\]
nên $f$ là axtt liên tục.
Tôi chưa nghĩ ra cách tính chuẩn của toán tử $f$. Mà chắc là không tính được mặc dù nó tồn tại.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[maxmin]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Dễ dàng kiểm tra được $f$ là axtt. Hơn nữa với mọi $x$ ta có
\[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2{x_n}}}{{{n^3}}}} } \right| \leqslant 2\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}{{{n^3}}}} \leqslant 2 \cdot {\left\| x \right\|_\infty } \cdot \xi \left( 3 \right)\]
nên $f$ là axtt liên tục.
Tôi chưa nghĩ ra cách tính chuẩn của toán tử $f$. Mà chắc là không tính được mặc dù nó tồn tại.

Cái chỗ màu đỏ đó, đánh giá như thế nào hả bạn, chưa rõ ? và cái $\xi (3)$ là như thế nào ?
P/S: Lâu lắm quên rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

\[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2{x_n}}}{{{n^3}}}} } \right| \leqslant 2 \cdot \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}{{{n^3}}}} \leqslant 2 \cdot {\left\| x \right\|_\infty } \cdot \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^3}}}} \]
Cái $\zeta \left( 3 \right) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^3}}}} < + \infty $ là hàm zeta Riemann viết tắt lại thôi, vì mình không nhớ giá trị của $\zeta \left( 3 \right)$ là bao nhiêu cả.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[maxmin]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

\[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2{x_n}}}{{{n^3}}}} } \right| \leqslant 2 \cdot \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}{{{n^3}}}} \leqslant 2 \cdot {\left\| x \right\|_\infty } \cdot \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^3}}}} \]
Cái $\zeta \left( 3 \right) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{n^3}}}} < + \infty $ là hàm zeta Riemann viết tắt lại thôi, vì mình không nhớ giá trị của $\zeta \left( 3 \right)$ là bao nhiêu cả.

Mình có một vài bài về ánh xạ tuyến tính dạng tính chuẩn, bạn giúp mình được chứ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Dễ dàng kiểm tra được $f$ là axtt. Hơn nữa với mọi $x$ ta có
\[\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2{x_n}}}{{{n^3}}}} } \right| \leqslant 2\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}{{{n^3}}}} \leqslant 2 \cdot {\left\| x \right\|_\infty } \cdot \xi \left( 3 \right)\]
nên $f$ là axtt liên tục.
Tôi chưa nghĩ ra cách tính chuẩn của toán tử $f$. Mà chắc là không tính được mặc dù nó tồn tại.

Với mỗi $k \geq 1$, xét $\{x^{(k)}\}_n$ như sau: $x^{(k)}_n = 1$ nếu $n\leq k$, và $x_n^{(k)} = 0$ nếu $n > k$. Dễ thấy $x^{(k)} \in E$ và $\|x^{(k)}\| = 1$. Do đó
$$
\|f\| \geq |f(x^{(k)}| = \sum_{n} 2\frac{x_n^{(k)}}{n^3} = \sum_{n\leq k} 2\frac{1}{n^3},
$$
với mọi $k \geq 1$. Cho $k\to\infty$, ta được
$$
\|f\|\geq 2 \sum_{n} \frac1{n^3}.
$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]