GPT nghiệm nguyên

akai · 05-04-2012, 05:49 PM

GPT nghiệm nguyên $ x^3+y^4=7 $

akai · 05-04-2012, 07:16 PM

Trích:

Nguyên văn bởi vietha_b2sty

Để mình giúp bạn bài này, nhớ thanks mình nha

Ta có:
$x^3=7-y^4\leq\ 7} $
Suy ra $x^3=0 $ hoặc $x^3=1 $
Không có y thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.

Bạn nhầm rồi, $ x^3 $ có thể âm mà.

vietha_b2sty · 05-04-2012, 07:17 PM

Mình nhầm.Xin lỗi nhiều

sythanh14 · 05-04-2012, 09:28 PM

Rõ ràng ta chỉ cần xét $y>0 $. Trường hợp $x \geq 0 $ giải quyết như bạn vietha_b2sty đã trình bày ở trên. Trường hợp $x<0 $ thì ta chỉ cần xét phương trình sau với miền nghiệm nguyên dương:
$x^3+7=y^4 $
Bằng cách xét đồng dư modulo $4 $ ta thấy $x $ phải đồng dư $1 $ mod $4 $.
Ta có: $y^4+1=(x+2)(x^2-2x+4) $
Do $x \equiv 1 $ mod $4 $ nên $x^2-2x+4 \equiv 3 $ mod $4 $ do đó nó phải có ước nguyên tố $p \equiv 3 $ mod $4 $, tức là cả $y $ và $1 $ có ước chung là $p $, vô lý.
Vậy phương trình đã cho là vô nghiệm trên tập số nguyên.

akai · 06-04-2012, 07:37 AM

Trích:

Nguyên văn bởi sythanh14

Bằng cách xét đồng dư modulo $4 $ ta thấy $x $ phải đồng dư $1 $ mod $4 $.

Bạn giải thích kĩ hơn chỗ này được không?

hangel_elf · 06-04-2012, 09:53 AM

Theo mình thấy thì $y^4 $ chỉ đồng dư với 0 hoặc 1 (mod 4).Còn $x^3+7 $ lại chỉ có thể đồng dư với 0;2;3 (mod4).Do vậy ta chỉ còn trường hợp y chia hết cho 4;x chia 4 dư 1.Nhưng mà đoạn Do...,do đó nó phải có ước nguyên tố,...vô lý.thì tớ không hiểu

akai · 06-04-2012, 10:38 AM

Trích:

Nguyên văn bởi hangel_elf

Theo mình thấy thì $y^4 $ chỉ đồng dư với 0 hoặc 1 (mod 4).Còn $x^3+7 $ lại chỉ có thể đồng dư với 0;2;3 (mod4).Do vậy ta chỉ còn trường hợp y chia hết cho 4;x chia 4 dư 1.Nhưng mà đoạn Do...,do đó nó phải có ước nguyên tố,...vô lý.thì tớ không hiểu

Bởi vì các số có dạng $4p+3$ luôn có ước nguyên tố dạng $4p+3$, thật vậy nếu $4p+3$ nguyên tố thì ok, nếu không, nó phải có ước là một trong các số $4k+1;4k+3$, vì không thể xảy ra $4p+3=(4k+1)^2$ nên phải có k nào đó để $4p+3=a(4k+3)$.

05-04-2012, 05:49 PM	#1
akai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Đến từ: Mặt trăng Bài gởi: 134 Thanks: 34 Thanked 7 Times in 7 Posts	GPT nghiệm nguyên GPT nghiệm nguyên $ x^3+y^4=7 $ __________________ Akai Shuichi

05-04-2012, 07:17 PM	#3
vietha_b2sty +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: T1K22 THPT Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 98 Thanks: 54 Thanked 48 Times in 38 Posts	Mình nhầm.Xin lỗi nhiều __________________ lul

05-04-2012, 09:28 PM	#4
sythanh14 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Đến từ: Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An Bài gởi: 45 Thanks: 14 Thanked 14 Times in 9 Posts	Rõ ràng ta chỉ cần xét $y>0 $. Trường hợp $x \geq 0 $ giải quyết như bạn vietha_b2sty đã trình bày ở trên. Trường hợp $x<0 $ thì ta chỉ cần xét phương trình sau với miền nghiệm nguyên dương: $x^3+7=y^4 $ Bằng cách xét đồng dư modulo $4 $ ta thấy $x $ phải đồng dư $1 $ mod $4 $. Ta có: $y^4+1=(x+2)(x^2-2x+4) $ Do $x \equiv 1 $ mod $4 $ nên $x^2-2x+4 \equiv 3 $ mod $4 $ do đó nó phải có ước nguyên tố $p \equiv 3 $ mod $4 $, tức là cả $y $ và $1 $ có ước chung là $p $, vô lý. Vậy phương trình đã cho là vô nghiệm trên tập số nguyên. thay đổi nội dung bởi: sythanh14, 05-04-2012 lúc 09:57 PM Lý do: Gõ sai LaTeX

06-04-2012, 09:53 AM	#6
hangel_elf +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 29 Thanks: 20 Thanked 2 Times in 2 Posts	Theo mình thấy thì $y^4 $ chỉ đồng dư với 0 hoặc 1 (mod 4).Còn $x^3+7 $ lại chỉ có thể đồng dư với 0;2;3 (mod4).Do vậy ta chỉ còn trường hợp y chia hết cho 4;x chia 4 dư 1.Nhưng mà đoạn Do...,do đó nó phải có ước nguyên tố,...vô lý.thì tớ không hiểu