Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 22-04-2009, 11:20 AM   #1
a1vinhphuc
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 37
Thanks: 3
Thanked 6 Times in 5 Posts
Phương trình nghiệm nguyên

$x^2+1=y^3 $
x,y nguyên.
Lời giải ko sử dụng Z[i]
Hy vọng các bạn sẽ enjoy it.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
:hornytoro:

thay đổi nội dung bởi: a1vinhphuc, 22-04-2009 lúc 03:13 PM
a1vinhphuc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-06-2009, 10:18 AM   #2
nhatson93
+Thành Viên+
 
nhatson93's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Phú yên
Bài gởi: 6
Thanks: 0
Thanked 1 Time in 1 Post
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới nhatson93
$=> x^2=y^3-1
<=>x^2=(y-1)(y^2+y+1) $
đặt $d=(y-1,y^2+y+1)
=>d=1,3 $
Xét $d=1: $
Ta có: $x^2 $ là scp
$=> y-1=u^2 y^2+y+1=t^2
=> t^2+u^2=y^2+2y
=>t^2+u^2+1=(y+1)^2 $
Ta có: $t^2 \equiv 0,1(mod 4)
u^2 \equiv 0,1(mod 4)
=> t^2+u^2+1 \equiv 1,2,3(mod 4) $
mặt khác: $(y+1)^2 \equiv 0,1 (mod 4)
=> (y+1)^2 \equiv 1(mod 4)
=> u^2+t^2 \equiv 0(mod 4)
=>u^2=4u^2_1
t^2=4t^2_1
=>4u^2_1 + 4t^2_1+1=(y_1 +1)^2 (1)
=>4u^2_1 + 4t^2_1+1=y^2_1+y_1+1
=>u^2_1+t^2_1=y^2_1+y_1 (2)
u^2_1+t^2_1 \equiv 0,1,2(mod 4) $
Mặt khác chỉ có $u^2_1+t^2_1 $ thỏa đề bào
$=>y^2_1+y_1 \equiv 0(mod 4) $
Xét $y_1=2y_2
=>u_1=2u_2
t_1=2t_2
=>4u^2_2+4t^2_2=4y^2_2+2y_2 $
Theo nguyên lí cực hạn, chỉ có duy nhất $(u,t,y_1)= (0,0,0) $ thỏa mãn
$=> (x;y)=(0,1) $
Xét $y_1=4y_2+3: $
Thế vào (2) và khai triển, ta có pt quay về (1).Xét tương tự và sử dụng nguyên lí cực hạn ta cũng có $(x;y)=(0,1) $
Xét TH $d=3: $
đặt $y-1=3y_1
=>y=3y_1+1 $
Thế vào pt đầu, khai triển và dùng nguyên lí cực hạn ta cũng có $y_1=0
=>(x;y)=(0,1) $

E cũng là như thế, nếu có sai sót xin mọi người góp ý
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nhatson93 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 02-06-2009, 11:02 PM   #3
a1vinhphuc
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 37
Thanks: 3
Thanked 6 Times in 5 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nhatson93 View Post
$=> x^2=y^3-1
<=>x^2=(y-1)(y^2+y+1) $
đặt $d=(y-1,y^2+y+1)
=>d=1,3 $
Xét $d=1: $
Ta có: $x^2 $ là scp
$=> y-1=u^2 y^2+y+1=t^2
=> t^2+u^2=y^2+2y
=>t^2+u^2+1=(y+1)^2 $
Ta có: $t^2 \equiv 0,1(mod 4)
u^2 \equiv 0,1(mod 4)
=> t^2+u^2+1 \equiv 1,2,3(mod 4) $
mặt khác: $(y+1)^2 \equiv 0,1 (mod 4)
=> (y+1)^2 \equiv 1(mod 4)
=> u^2+t^2 \equiv 0(mod 4)
=>u^2=4u^2_1
t^2=4t^2_1
=>4u^2_1 + 4t^2_1+1=(y_1 +1)^2 (1)
=>4u^2_1 + 4t^2_1+1=y^2_1+y_1+1
=>u^2_1+t^2_1=y^2_1+y_1 (2)
u^2_1+t^2_1 \equiv 0,1,2(mod 4) $
Mặt khác chỉ có $u^2_1+t^2_1 $ thỏa đề bào
$=>y^2_1+y_1 \equiv 0(mod 4) $
Xét $y_1=2y_2
=>u_1=2u_2
t_1=2t_2
=>4u^2_2+4t^2_2=4y^2_2+2y_2 $
Theo nguyên lí cực hạn, chỉ có duy nhất $(u,t,y_1)= (0,0,0) $ thỏa mãn
$=> (x;y)=(0,1) $
Xét $y_1=4y_2+3: $
Thế vào (2) và khai triển, ta có pt quay về (1).Xét tương tự và sử dụng nguyên lí cực hạn ta cũng có $(x;y)=(0,1) $
Xét TH $d=3: $
đặt $y-1=3y_1
=>y=3y_1+1 $
Thế vào pt đầu, khai triển và dùng nguyên lí cực hạn ta cũng có $y_1=0
=>(x;y)=(0,1) $

E cũng là như thế, nếu có sai sót xin mọi người góp ý
Đúng là d=1 thì quá dễ , nhưng cái khó là khi d=3 .Mình dùng cực hạn nhưng khá dài .Bạn có thể viết rõ hơn ko.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
:hornytoro:
a1vinhphuc is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-10-2009, 10:24 PM   #4
conan236
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2007
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 287
Thanks: 17
Thanked 104 Times in 43 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi a1vinhphuc View Post
$x^2+1=y^3 $
x,y nguyên.
Lời giải ko sử dụng Z[i]
Hy vọng các bạn sẽ enjoy it.
Giả sử $x,y $ là nghiệm của phương trình. Chú ý rằng bằng cách xét mod 4 ta sẽ dễ dàng cm đc rằng $y $ là lẻ. Ta có :
$x^2+1=y^3 \leftrightarrow (x+i)(x-i)=y^3 $.
Ta sẽ chứng minh rằng $x+i $ và $x-i $ nguyên tố cùng nhau, thật vậy giả sử có 1 số nguyên tố gauss $d $ mà $d=(x+i,x-i) $, khi đó ta có : $d|2i \Rightarrow N(d)|N(2i)=4 $, tức là $N(d) $ chẵn.
Mà $d|(x+i) \Rightarrow N(d)|N(x+i)=x^2+1=y^3 $ vậy nên $y^3 $ chẵn, mâu thuẫn với $y $ lẻ.
Vậy $x+i $ và $x-i $ nguyên tố cùng nhau. Do đó tồn tại số nguyên tố gausse $a+bi $ mà :
$x+i=(a+bi)^3 \Rightarrow x=a(a^2-3b), 1=b(3a^2-b^2) $
$\Rightarrow |b|=1 \Rightarrow a=0. $
Vậy chỉ có duy nhất nghiệm $(x,y)=(0,1) $ thỏa ycbt.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
TOÁN HỌC LÀ CUỘC SỐNG CỦA TÔI
conan236 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-10-2009, 01:58 AM   #5
lvt_ct_nb
+Thành Viên+
 
lvt_ct_nb's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2009
Đến từ: LV Tụy Ninh Bình
Bài gởi: 5
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
N(d) là gì vậy bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LVT_92_CT49_NB
lvt_ct_nb is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-10-2009, 04:25 PM   #6
thao123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2009
Bài gởi: 7
Thanks: 19
Thanked 4 Times in 2 Posts
Nếu z=a+bi (với a,b,thuộc Z )gọi là số nguyên phúc; N(z) = a^2+b^2 gọi là chuẩn của z.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thao123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-02-2010, 11:36 PM   #7
truongthikimch
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 60
Thanks: 21
Thanked 17 Times in 10 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi a1vinhphuc View Post
$x^2+1=y^3 $
x,y nguyên.
Lời giải ko sử dụng Z[i]
Hy vọng các bạn sẽ enjoy it.
nếu bạn dùng giả thuyết abc thì sẽ đơn giản hơn. Cụ thể bbạn áp dụng định ly Davenport
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
truongthikimch is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-02-2010, 12:39 AM   #8
Red Devils
+Thành Viên+
 
Red Devils's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Lớp 55CLC2, trường ĐHXD
Bài gởi: 205
Thanks: 28
Thanked 395 Times in 82 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi truongthikimch View Post
nếu bạn dùng giả thuyết abc thì sẽ đơn giản hơn. Cụ thể bạn áp dụng định ly Davenport
Tìm $(x,y,n) $ nguyên dương thỏa mãn $(x,n+1)=1 $ và $x^n+1=y^{n+1} $.

Nếu ở bài toán đầu cho thêm điều kiện (x,3)=1 thì bài toán trên sẽ là bài toán tổng quát của nó. Đây là một bài toán quen thuộc.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Red Devils, 04-02-2010 lúc 12:43 AM
Red Devils is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-02-2010, 05:35 PM   #9
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,980
Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts
bài toán tổng quát của anh red còn có trong cuốn số học mới cua titu andrescu
đồng thời là đê thi IMo năm 1998
(IMO ở dey là vô địch quoccs gia ấn độ nha )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
truongthikimch (05-02-2010)
Old 05-02-2010, 06:57 PM   #10
truongthikimch
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 60
Thanks: 21
Thanked 17 Times in 10 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nvthanh1994 View Post
bài toán tổng quát của anh red còn có trong cuốn số học mới cua titu andrescu
đồng thời là đê thi IMo năm 1998
(IMO ở dey là vô địch quoccs gia ấn độ nha )
Bạn cho mình lời giải theo tài liệu bạn đã nêu được không?hiện tại mình không biết tìm bài toán này ở đâu.Nếu dùng định lý Davenport thì mình chứng minh được phương trình chỉ có một nghiệm (0,1)mà không cần quan tâm đến giả thiết (x,n+1)=1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
truongthikimch is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-02-2010, 10:11 AM   #11
2M
thảo dân
 
2M's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 192
Thanks: 108
Thanked 509 Times in 146 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nvthanh1994 View Post
bài toán tổng quát của anh red còn có trong cuốn số học mới cua titu andrescu
đồng thời là đê thi IMo năm 1998
(IMO ở dey là vô địch quoccs gia ấn độ nha )
nvthanh1994 lên [Only registered and activated users can see links. ] đọc danh sách nha em!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
./.
2M is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-02-2010, 12:20 PM   #12
Thesoulofrock
+Thành Viên+
 
Thesoulofrock's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Đến từ: Cambridge, UK
Bài gởi: 156
Thanks: 1
Thanked 73 Times in 45 Posts
Bài toán tổng quát của bài đầu tiên
Định lý Lebesgue
Cho p là một số nguyên tố. Khi đó phương trình $x^p-y^2=1 $ không có nghiệm nguyên thỏa $xy\neq 0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Rằng xưa có gã từ quan
Lên non tìm động hoa vàng ngủ say
Thesoulofrock is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 14-02-2010, 10:43 PM   #13
caubedien
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 142
Thanks: 59
Thanked 19 Times in 17 Posts
ông soulofrock giải cái định lí trên đc ko hoặc cho biết nó có ở đâu cho anh em mathscope học hỏi. Tiện thể cho hỏi luôn định lí Davenport là gì thế và Z[i] là gì luôn zậy mọi người . Cuốn bài giảng số học của ai ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
caubedien is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:15 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 85.30 k/98.97 k (13.81%)]