Xét sự hội tụ của chuỗi

[franciscokison]

Nguyên văn bởi batigoal

Cụ thể hóa bài trên như sau.
Xét dãy tổng riêng$A_n=\sum_{k=1}^n \sin k=\sin 1+sin 2+...+\sin n\leq |\sin 1+sin 2+...+ \sin n| \leq |\sin 1|+|sin 2|+...+|\sin n|\leq M $

Với mọi n cơ mà, chỗ này chưa ổn!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buikhacduong]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Định lí về chuỗi điều hòa:Chuỗi $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p} $ hội tụ nếu và chỉ nếu $p>1 $

Chủ quan quá!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Xin mạo muội làm thử:
Ta có:$\sin n \geq n -\frac{1}{6} n^3 \geq -\frac{1}{6} n^3 $,với mọi $n \in [1;\infty ] $
Nên $\frac{\sin n}{n^{\frac{1}{5}}} \geq -\frac{1}{6} n^{\frac{14}{5}} $
Do $\sum_{n=1}^{\infty} n^{\frac{14}{5}} $ phân kì
Nên chuỗi đã cho phân kì
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi franciscokison

Với mọi n cơ mà, chỗ này chưa ổn!

Theo lí thuyết tiêu chuẩn Dirichle thì chỉ cần xét tổng riêng nên không cần phải mọi n
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi batigoal

Cụ thể hóa bài trên như sau.
Xét dãy tổng riêng$A_n=\sum_{k=1}^n \sin k=\sin 1+sin 2+...+\sin n\leq |\sin 1+sin 2+...+ \sin n| \leq |\sin 1|+|sin 2|+...+|\sin n|\leq M $
Trong khi đó dãy ${b_n} $ với $b_n=\dfrac{1}{n^{\dfrac{1}{5}}} $ đơn điệu giảm và dần vê 0 khi $n->+ \infty $ nên chuỗi đã cho hội tụ theo Dỉichle

Mình thấy không đảm bảo tồn tại số $M > 0 $ vậy đâu vì $n \to \infty $ mà làm sao có thể chặn dãy này được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Mình thấy không đảm bảo tồn tại số $M > 0 $ vậy đâu vì $n \to \infty $ mà làm sao có thể chặn dãy này được

Vì là xét tổng riêng nên tổng trên là hữu hạn. Do đó với n đủ lớn luôn tồn tại số M>0 chặn trên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi batigoal

Cụ thể hóa bài trên như sau.
Xét dãy tổng riêng$A_n=\sum_{k=1}^n \sin k=\sin 1+sin 2+...+\sin n\leq |\sin 1+sin 2+...+ \sin n| \leq |\sin 1|+|sin 2|+...+|\sin n|\leq M $
Trong khi đó dãy ${b_n} $ với $b_n=\dfrac{1}{n^{\dfrac{1}{5}}} $ đơn điệu giảm và dần vê 0 khi $n->+ \infty $ nên chuỗi đã cho hội tụ theo Dỉichle

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Xin mạo muội làm thử:
Ta có:$\sin n \geq n -\frac{1}{6} n^3 \geq -\frac{1}{6} n^3 $,với mọi $n \in [1;\infty ] $
Nên $\frac{\sin n}{n^{\frac{1}{5}}} \geq -\frac{1}{6} n^{\frac{14}{5}} $
Do $\sum_{n=1}^{\infty} n^{\frac{14}{5}} $ phân kì
Nên chuỗi đã cho phân kì

Bài của bạn là hội tụ còn của mình là phân kì,thế này là thế nào
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi batigoal

Cụ thể hóa bài trên như sau.
Xét dãy tổng riêng$A_n=\sum_{k=1}^n \sin k=\sin 1+sin 2+...+\sin n\leq |\sin 1+sin 2+...+ \sin n| \leq |\sin 1|+|sin 2|+...+|\sin n|\leq M $
Trong khi đó dãy ${b_n} $ với $b_n=\dfrac{1}{n^{\dfrac{1}{5}}} $ đơn điệu giảm và dần vê 0 khi $n->+ \infty $ nên chuỗi đã cho hội tụ theo Dỉichle

Thế này chưa ổn, vì M như của bạn bị phụ thuộc vào n.
$A_n=\sum_{k=1}^n \sin k=\sum_{k=1}^n\frac{\sin k\sin (1/2)}{\sin (1/2)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\frac{\cos(k-1/2)-\cos(k+1/2)}{\sin (1/2)}=\frac{\cos 1/2 -\cos(n+1/2)}{2\sin (1/2)} $
do đó $|A_n|\leq \frac{1}{\sin (1/2)} $ với mọi n.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]