Bị chặn yếu

[99]

Anh nên đọc kỹ lại bài của anh ý, anh ý chỉ nói là trong bài này, $X$ chỉ là không gian định chuẩn, nhưng $X'$ luôn là không gian Banach, và như vậy thì có gì sai đâu. Ở đây, chắc chắn có sự nhầm lẫn giữa topo yếu và *-yếu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Newmath.]

Sao bao nhiêu post đầy chất xám mà chỉ có mỗi 1 thanks của đ/c Admin là sao ta
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Nguyên văn bởi tuan119

Đề bài:

Giả sử $X$ là không gian vector trên $\mathbb{R}$ tạo bởi các hàm liên tục $f$ trên $\left [ 0,1 \right ]$ bằng $0$ trong một lân cận nào đó (phụ thuộc vào $f$) của $t=0$.
Trang bị cho $X$ topo xác định bởi metric:
$$d(f,g)=\sup \left \{ \left |f(t)-g(t) \right |:t \in \left [ 0,1 \right ] \right \}$$
Chứng minh dãy các phiếm hàm tuyến tính $f \mapsto n \cdot f\left (\dfrac{1}{n} \right ),\ n \ge 1$ là bị chặn yếu, nhưng không đồng liên tục trên $X'$.

$\bullet \left \{ \varphi_n \right \}_{n \ge 1}$ không đồng liên tục:

Phản chứng:
Giả sử $\left \{ \varphi_n \right \}_{n \ge 1}$ là đồng liên tục $\implies \exists$ lân cận $U$ của $0 \in X$ sao cho:
$$\forall n \ge 1, \forall f \in U: \left | \varphi_n (f) \right |=n\left | f \left (\dfrac{1}{n} \right ) \right | \le 1$$
$\implies U \subset D=\left \{ f \in E:n\left | f \left (\dfrac{1}{n} \right ) \right | \le 1, \forall n \ge 1 \right \}$
(Vô lý, vì $D$ không phải là lân cận của $0 \in X$; $(*)$)

$\blacklozenge$ Ta sẽ chứng minh $(*)$:

Do $X$ là không gian vector metric $\implies$ cơ sở lân cận của $0$ là họ các hình cầu $B(0,r), r>0$. Tức là, chứng minh $D\nsupseteq B(0,r), \forall r>0$
Với $r>0$, bất kỳ, ta chọn $n_0 \in \mathbb{N}^*$ sao cho: $\dfrac{2}{n_0} <r$.

Xét hàm $f$ có đồ thị như hv:

$\implies f \in B(0,r)$.

Nhưng $f \notin D$, vì $n_0 \left | f \left (\dfrac{1}{n_0} \right ) \right |=n_0 \cdot \dfrac{2}{n_0}=2>1$.
Vậy $D \nsupseteq B(0,r), \forall r>0$.

$\bullet \left \{ \varphi_n \right \}_{n \ge 1}$ bị chặn yếu trên $X'$ .
Giả sử $f \in X$.
Khi đó $\exists \varepsilon \in (0,1)$ sao cho $f=0$ trên $\left [ 0,\epsilon \right ]$.

Tồn tại $n_0$ sao cho $\dfrac{1}{n}< \varepsilon , \forall n \ge n_0$
Do đó, $\varphi_n (f)=0,\forall n \ge n_0$

Đặt $M:=\sup \left \{\left |\varphi_n (f) \right |:n=\overline{1,n_0} \right \} $
$\implies \left |\varphi_n (f) \right | \le M, \forall n \ge 1$.

Vậy $\left \{ \varphi_n \right \}_{n \ge 1}$ bị chặn yếu trên $X'$. $\blacksquare $

$\bullet X$ không là không gian Banach.

Xét dãy $(f_n)_{n\geq 1}$ nếu $f_n(x) = 0$, với $x\in [0,1/n]$
và $f_n(x) = x - 1/n$ nếu $x\in [1/n, 1]$, $\delta(f_n) = 1/n > 0$

Xét $(f_n)_{n\geq 1}$ được định nghĩa như trên.
Ta có:
$$\textrm{d}(f_p,f_q) = \| f_p - f_q \|_{\infty} = \sup_{x\in [0,1]} |f_p(x)-f_q(x)| = \dfrac {|p-q|}{pq}$$
Nhưng với $\varepsilon > 0$, ta chọn $n$ đủ lớn để $\dfrac {1} {n} < \varepsilon$
Khi đó $\textrm{d}(f_p,f_q) < \varepsilon$ với $p,q \geq n$.
Do đó dãy trên là Cauchy.

Tuy nhiên, ta có $\textrm{d}(f_m,f) < \varepsilon$ với $m\geq n$, $f(x) = x$ với mọi $x\in [0,1]$, do đó $\lim_{n\to \infty} f_n = f$, nhưng $f\not \in X$.

Tức là dãy Cauchy trong $X$, nhưng không hội tụ trong $X$.
Vậy $X$ không là không gian Banach. $\blacksquare $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Newmath.]

Nguyên văn bởi tuan119

$\bullet \left \{ \varphi_n \right \}_{n \ge 1}$ bị chặn yếu trên $E'$ .
Giả sử $f \in E$.
Khi đó $\exists \varepsilon \in (0,1)$ sao cho $f=0$ trên $\left [ 0,\epsilon \right ]$.

Tồn tại $n_0$ sao cho $\dfrac{1}{n}< \varepsilon , \forall n \ge n_0$
Do đó, $\varphi_n (f)=0,\forall n \ge n_0$

Đặt $M:=\sup \left \{\left |\varphi_n (f) \right |:n=\overline{1,n_0} \right \} $
$\implies \left |\varphi_n (f) \right | \le M, \forall n \ge 1$.

Vậy $\left \{ \varphi_n \right \}_{n \ge 1}$ bị chặn yếu trên $E'$. $\blacksquare $

Ôi, đn bị chắn yếu "Made in Mathscope" là đây chứ đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Nguyên văn bởi Newmath.

Ôi, đn bị chắn yếu "Made in Mathscope" là đây chứ đâu

Nguyên văn bởi Newmath.

Bạn này hình như không hiểu kg định chuẩn là gì thì phải . Túm lại bài của bạn nếu là bị chặn yếu thì sai 100% nhé, có cần mình chứng minh bị chặn yếu và đồng liên tục trong bài này là tương đương không?
Mà bạn đừng lôi thùng với thình, cân với lồi ra làm gì cho loãng. Ở tầm bài này đâu cần gì mấy cái đó.
------------------------------
Để tránh loãng chủ đề, mình xin hỏi 2 câu:
1- Cm của mình có gì sai không? Nếu sai thì chỉ ra chỗ sai.
2 - Cho mình xem lời giải của bạn. Toán ko có chuyện khẳng định suông là ko sai

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Newmath.]

Hehe, lấy 1 cái forum ất ơ làm tài liệu tham khảo thì y học bó tay thật rồi. Thiếu sách vở đến thế cơ àh? Đây, giúp cậu bé lần cuối nhé:
perso.crans.org/lecomte/Math/WeakTopologies.pdf‎

Còn đây là wiki, một nguồn ko chính thống lắm nhưng vẫn đáng tin hơn là forum
[Only registered and activated users can see links. ]

Another corollary is that any weakly bounded subset S in a normed space Y is bounded; indeed, the elements of S define a pointwise bounded family of continuous linear forms on the Banach space X = Y*

PS: Thật đáng buồn khi cái vấn đề cỏn con này mà cứ đào xới mãi. Nhầm lẫn là rất bt, nhưng cứng đầu chày cối như chủ thớt thì hơi bị hiếm. Thôi, mình dưng ko tham gia thread, để admin 99 và ai đó từng học gth vào giải quyết.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Trước tiên, nhìn vào phong cách post bài của bạn, thì có thể đánh giá ban đầu là bạn chưa trưởng thành (thậm chí còn ít tuổi).
Bạn hãy xem cách thảo luận bài của các bạn khác ở forum của Tây nhé, để học hỏi khi viết bài (hạn chế emoticons, bớt thái độ tính tinh vi đi...), hay ở MS này bạn có thể học hỏi chú novae nhé.

[Only registered and activated users can see links. ] theo bạn là forum ất ơ, nực cười.
Xin nói với bạn, ở forum trên có rất nhiều người đạt giải IMO tham gia nhé, đủ để đánh giá uy tín thế nào, VD: darij grinberg (huy chương vàng IMO)
[Only registered and activated users can see links. ]

[Only registered and activated users can see links. ]

Cả (chú 99 cũng tham gia nhé )

Dù bạn muốn nói thế nào, thì cái đúng nó không bao giờ thay đổi, nếu mình sai,mình sẵn sàng nhận và xin lỗi. Cái đó không có gì xấu hổ, bạn cũng nên vậy.

Xin nói thêm là bài trên được đưa vào giảng dạy cho rất nhiều khóa sinh viên Toán bạn nhé, không có chuyện sai đề bài nào ở đây cả.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Newmath.]

Nguyên văn bởi tuan119

Trước tiên, nhìn vào phong cách post bài của bạn, thì có thể đánh giá ban đầu là bạn chưa trưởng thành (thậm chí còn ít tuổi).
Bạn hãy xem cách thảo luận bài của các bạn khác ở forum của Tây nhé, để học hỏi khi viết bài (hạn chế emoticons, bớt thái độ tính tinh vi đi...), hay ở MS này bạn có thể học hỏi chú novae nhé.

[Only registered and activated users can see links. ] theo bạn là forum ất ơ, nực cười.
Xin nói với bạn, ở forum trên có rất nhiều người đạt giải IMO tham gia nhé, đủ để đánh giá uy tín thế nào, VD: darij grinberg (huy chương vàng IMO)
[Only registered and activated users can see links. ]

[Only registered and activated users can see links. ]

Cả (chú 99 cũng tham gia nhé )

Dù bạn muốn nói thế nào, thì cái đúng nó không bao giờ thay đổi, nếu mình sai,mình sẵn sàng nhận và xin lỗi. Cái đó không có gì xấu hổ, bạn cũng nên vậy.

Xin nói thêm là bài trên được đưa vào giảng dạy cho rất nhiều khóa sinh viên Toán bạn nhé, không có chuyện sai đề bài nào ở đây cả.

Vãi với các lý do đề ko sai, nào là IMO, nào là bài giảng, trong khi cái quan trọng nhất là cm đề sai thì ko (dám) bình luận. Nói đúng hơn là có bình luận một câu nhưng bị chú 99 vả cho nên lại im , rồi lại quay trờ về với phong cách cùn.

Cái câu in đậm rất chuẩn. Mọi người có kiến thức tối thiểu về gth, vd chú 99, đều biết ai đúng ai sai. Thế nên đừng cố cậu bé ạ . Tốt nhất cậu về giở sách đọc lại đn tô pô yếu đi (trong cái note trên cũng có đấy), rồi lên đây xin lỗi tôi và 99 vì đã nhọc công với cậu khá nhiều. (Nhớ là dùng sách nhé, 2 cuốn cho chắc).

Còn về tinh vi ấy, tôi nghĩ những kẻ cùn mới là kẻ tinh vi, vì chúng sợ nhận sai. VD là việc âm thầm chuyển từ hàm bậc thang sang sử dụng hàm có đồ thị gấp khúc ấy, chả thấy câu nhận sai cả nào cả (chưa kể ban đầu còn là chọn hàm hằng mới vãi chứ ).

PS: Điều duy nhất có giá trị trong cái post trên của cậu là việc nhắc tôi dùng ít icon, tôi ghi nhận và sẽ sửa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi Newmath.

Sao bao nhiêu post đầy chất xám mà chỉ có mỗi 1 thanks của đ/c Admin là sao ta

Tại phần nhiều là em biết rồi Dạo này em bận đi công tác nên không trả lời mấy bác được ngay.

Về lý do đề sai của bác Tuấn thì em nói thật là lý do ý không chấp nhận được. Bác lấy lý do hành chính, uy tín ra để đánh đổi giá trị chân lý của bài toán thì quá buồn cười. Bác có thấy có giả thuyết toán nào được chứng minh bằng uy tín của các nhà toán học không?

Anh Tuấn nên làm theo anh Newmath., trích dẫn sách, vì đó là trích dẫn được phép.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Được rồi, Ok.

Đây là bài 5 - Trang 69:
Sách "Mở đầu về không gian vectơ tôpô và một số vấn đề chọn lọc của giải tích hàm" Tác giả: Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải.
------------------------------
@Newmath.: Bạn cũng nên tìm sách này (Ngay sát bên trái cổng trường ĐHSPHN).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Trích dẫn ở đây là trích dẫn kết quả, định lý để áp dụng vào giải bài tập. Kết quả đó ở trong các bài báo (paper) hoặc textbook (ví dụ bộ GTM), có chứng minh. Ví dụ khi viết luận văn, mà anh trích dẫn vậy thì kiểu gì cũng bị phản biện kêu.

Nhớ hồi bảo vệ khóa luận tốt nghiệp ở Sư phạm, tất cả sinh viên đều mắc lỗi trích dẫn, nên khóa luận mất tính khách quan. Tuy nhiên cuối cùng cũng > 9 cả thật là zui zui zui
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Uh, đúng là zui zui

Anh thì đặt niềm tin tuyệt đối vào 2 GS trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Newmath.]

Học toán dựa vào niềm tin hơn cả chứng minh thì đúng là ko còn gì để nói

Nào thì trích dẫn:


- Đlý 9 trang 53 cuốn "Theorems and Problems in Functional Analysis" của Kirillov:

In a normed space $L$ every weakly bounded set $X$ (i.e., set such that $|f(x)| < c(f)$ for any $x \in X$ and $f \in L'$) is bounded.

Hệ quả 47.3 trang 201 trong cuốn "Lectures in Functional Analysis and Operator Theory " của Berberian (series gtm)

If $E$ is a normed space over $K$ and $(x_t)_{t\in I}$ is a family of vectors in $E$ such that, for each $f \in E'$, the family $(f(x_t))_{t \in I}$ is bounded, then $||x_i||$ is bounded.
{So to speak, every 'weakly bounded' set in a normed space is bounded}

Dĩ nhiên cả 2 cuốn đều kèm theo chứng minh, đại khái cũng na ná cm tôi post ở trang trước.
---------------------------

Mấu chốt của vấn đề là cậu chủ thread sử dụng khái niệm "bị chặn yếu" không giống ai, vì thế tôi mới nhắc cậu về đọc lại đn khái niệm này. Tôi đoán cậu chưa đọc nên trích dẫn lại cho cậu hiểu đúng khái niệm bị chặn yếu nhé (nếu cần thêm thì cứ nói). Đừng cố cãi cùn nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhbinh1212]

Nguyên văn bởi Newmath.

....
Mấu chốt của vấn đề là cậu chủ thread sử dụng khái niệm "bị chặn yếu" không giống ai, vì thế tôi mới nhắc cậu về đọc lại đn khái niệm này. Tôi đoán cậu chưa đọc nên trích dẫn lại cho cậu hiểu đúng khái niệm bị chặn yếu nhé (nếu cần thêm thì cứ nói). Đừng cố cãi cùn nữa.

Sao lại không giống ai?

1/ Mục đích mình đưa câu hỏi này qua diễn đàn trên là để có quan điểm khách quan của các bạn nước ngoài về định nghĩa bị chặn yếu

Người Tây:

[Only registered and activated users can see links. ]

2/ Sách Tây:
[Only registered and activated users can see links. ]

(Xem 7-7.3)

3/ Ở đây $\left \{ \varphi_n \right \}_{n \ge 1}$ bị chặn yếu chính là $\sigma (E',E)$ - bị chặn.

4/ Sách VN nếu cần thì mình nói sau, vì bạn trọng sách Tây hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi thanhbinh1212

3/ Ở đây $\left \{ \varphi_n \right \}_{n \ge 1}$ bị chặn yếu chính là $\sigma (E',E)$ - bị chặn.

Cái này là topo *-yếu. Còn topo yếu thì phải là topo cảm sinh từ không gian đối ngẫu, tức là $E''$, mà $E''$ thì không phải là $E.$ Trong bài này cũng chỉ bàn không gian định chuẩn, chứ cũng không cần phải dùng tới ngôn ngữ cặp đối ngẫu.

Nguyên văn bởi tuan119

Anh thì đặt niềm tin tuyệt đối vào 2 GS trên.

Nếu anh muốn thì em sẽ gửi tới thầy Lê Mậu Hải niềm tin đó của anh. Xem thầy vui cỡ nào.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]