Chứng minh đồng quy

tuankietpq · 03-05-2015, 07:43 AM

Cho tam giác ABC có trực tâm H. D, E, F lần lượt là hình chiếu của H lên BC, CA, AB. Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, ED, FD tại M, N, P. Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy.

tuankietpq · 08-05-2015, 04:00 PM

Chứng minh rằng điểm đồng quy đó nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC.

imalx · 11-05-2015, 10:52 PM

Đây là một bài hình hay, nhất là câu thứ 2 liên quan tới đường thẳng Euler.

Để chứng minh câu một dùng trig Ceva. Dễ thấy $sinMAE/ sinMAF = sinB.tgC/sinC.tgB = cosB/cosC$ ...
Vậy nên $AM, BN, CP$ đồng qui tại một điểm $G$.

Gọi $L\equiv EF\cap BC, K\equiv FD\cap AC$.
Gọi $R, S$ là giao điểm của $AG, BG$ với $(O)$. Dễ thấy tứ giác $FMRB$ nội tiếp nên $AM.AR = AF. AB = AH. AD$, điều này có nghĩa $R$ nằm trên $(LMHD)$. Tương tự như vậy $S$ nằm trên $(KNHE)$.
Nếu hai đường tròn này cắt nhau tại $Q$ thì do $\angle LQH = \angle KQH = 90^{\circ}$ nên ba điểm $K, Q, L$ thẳng hàng.
Dễ thấy $MN\parallel AB$ nên $\angle NMR = \angle BAR = \angle BSR$ nên tứ giác $NMSR$ nội tiếp, dẫn đến $GM.GR = GN. GS$.
Điều trên có nghĩa là $G$ nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn $(RLMHD)$ và $(SKNHE)$, tức $QH$.
Lại có $OH\perp KL$ hay $O, H, Q$ thẳng hàng là một bổ đề quen thuộc nên dẫn đến đpcm.

03-05-2015, 07:43 AM	#1
tuankietpq +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2014 Đến từ: Trên mặt đất, dưới mặt trời Bài gởi: 220 Thanks: 48 Thanked 118 Times in 80 Posts	Chứng minh đồng quy Cho tam giác ABC có trực tâm H. D, E, F lần lượt là hình chiếu của H lên BC, CA, AB. Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, ED, FD tại M, N, P. Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy. __________________ Kẻ mạnh đôi khi không phải là kẻ chiến thắng mà kẻ chiến thắng mới là kẻ mạnh.

08-05-2015, 04:00 PM	#2
tuankietpq +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2014 Đến từ: Trên mặt đất, dưới mặt trời Bài gởi: 220 Thanks: 48 Thanked 118 Times in 80 Posts	Chứng minh rằng điểm đồng quy đó nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC. __________________ Kẻ mạnh đôi khi không phải là kẻ chiến thắng mà kẻ chiến thắng mới là kẻ mạnh.

11-05-2015, 10:52 PM	#3
imalx +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2015 Bài gởi: 27 Thanks: 0 Thanked 19 Times in 13 Posts	Đây là một bài hình hay, nhất là câu thứ 2 liên quan tới đường thẳng Euler. Để chứng minh câu một dùng trig Ceva. Dễ thấy $sinMAE/ sinMAF = sinB.tgC/sinC.tgB = cosB/cosC$ ... Vậy nên $AM, BN, CP$ đồng qui tại một điểm $G$. Gọi $L\equiv EF\cap BC, K\equiv FD\cap AC$. Gọi $R, S$ là giao điểm của $AG, BG$ với $(O)$. Dễ thấy tứ giác $FMRB$ nội tiếp nên $AM.AR = AF. AB = AH. AD$, điều này có nghĩa $R$ nằm trên $(LMHD)$. Tương tự như vậy $S$ nằm trên $(KNHE)$. Nếu hai đường tròn này cắt nhau tại $Q$ thì do $\angle LQH = \angle KQH = 90^{\circ}$ nên ba điểm $K, Q, L$ thẳng hàng. Dễ thấy $MN\parallel AB$ nên $\angle NMR = \angle BAR = \angle BSR$ nên tứ giác $NMSR$ nội tiếp, dẫn đến $GM.GR = GN. GS$. Điều trên có nghĩa là $G$ nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn $(RLMHD)$ và $(SKNHE)$, tức $QH$. Lại có $OH\perp KL$ hay $O, H, Q$ thẳng hàng là một bổ đề quen thuộc nên dẫn đến đpcm. thay đổi nội dung bởi: imalx, 11-05-2015 lúc 10:57 PM