Chứng minh đồng qui

[analysis90]

Cho hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ tiếp xúc ngoài tại $C$. Đường tròn $(O)$ tiếp xúc trong với cả hai đườnt tròn $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $A_1,A_2$. Tiếp tuyến chung $d$ của $(O_1),(O_2)$ đi qua $C$ cắt $(O)$ tại $P$, đường kính của $(O)$ vuông góc với $d$ cắt $(O)$ tại $B_1,B_2$ sao cho $B_2,O_2$ nằm cùng phía so với $d$. Chứng minh $B_1O_1,B_2O_2,d$ đồng qui.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duykhanhht]

Gọi $M$, $N$ lần lượt là tiếp điểm của $(O_1)$, $(O_2)$ với $(O)$.
$B_2O_2$ giao $(O)$ tại $J$.
$B_1J$ cắt $d$ tại X.
Ta sẽ chứng minh $X$ là tâm đẳng phương của 3 đưởng tròn $(O)$, $(O_1)$, $(O_2)$.
Trước hết ta chứng minh $B_1$, $C$, $N$, $B_2$, $C$, $M$ thẳng hàng.
$JCO_2N$ nội tiếp do $\widehat{JO_2C}=\widehat{JNC}$.
Suy ra $J$, $C$, $N$ nằm trên đường tròn đường kính $XO_2$.
Suy ra $XN$ là tiếp tuyến chung của $(O)$ và $(O_2)$.
Điểm đồng quy chính là trực tâm tam giác $XB_1B_2$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]