AP luôn đi qua điểm cố định

[Lucifer1998]

Cho tam giác $ABC$. Một đường thẳng $(d)$ thay đổi luôn song song với $BC$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M,N$. Gọi $I$ là giao điểm của $BN$ và $CM$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIM$ và $CIN$ cắt nhau tại $P$ (khác $I$). Chứng minh rằng $AP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $(d)$ thay đổi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[imalx]

Gọi $D\equiv AI\cap BC$. Ceva trong $\Delta ABC$ với ba cát tuyến $AD, BN, MC$ cho $D$ là trung điểm $BC$.
Do $\angle BMI = \angle BIP = \angle PCA$ nên tứ giác $AMPC$ nội tiếp. Tương tự như vậy $ANPB$ nội tiếp.
Trong $\Delta ABC$, ba cát tuyến $AI, BI, CI$ gặp nhau ở $I$, trong $\Delta MPN$, ba cát tuyến $MI, PI, NI$ gặp nhau ở $I$, lại có $\angle IMN = \angle ICB; \angle MNI = \angle IBC; \angle IPN = \angle ICA; \angle IPM = \angle ABI$ nên trig Ceva trong hai tam giác trên sẽ cho $sin IMP/sin INP = sin MAI/sin NAI$. (*). Nhưng do $\angle IMP + \angle INP = \angle PAN + \angle PAM = \angle A = \angle MAI + \angle NAI$ nên (*) dẫn đến $\angle PAM = \angle NAI$ (và $\angle PAN = \angle MAI$), tức$AP$ cố định.
$AP$ là đường đối trung tại đỉnh $A$ trong $\Delta ABC$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]