Topic bất đẳng thức Cauchy_Schwarz

[daylight]

Nguyên văn bởi can_hang2008

Mời các bạn cùng phân tích bài này, mình vừa thấy trên mathlinks:

Cho $a,\;b,\;c $ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 \ge 3. $ Chứng minh rằng

$(a^2+b^2+abc)(b^2+c^2+abc)(c^2+a^2+abc) \ge 3abc(a+b+c)^2. $

với mỗi bộ $a,b,c $ bất kì thì trong 3 số $\{abc-a^2,abc-b^2,abc-c^2\} $ của tập này ta luôn luôn có 2 số cùng dấu.
Giả sử đó là $abc-a^2 $ và $abc-b^2 $ thì $(abc-a^2)(abc-b^2) \ge 0. $

Sử dụng Cauchy-Schwaz ta có :

$\bigg(1+1+\frac{c}{ab}\bigg)(a^2+b^2+abc) \ge (a+b+c)^2 $

kết hợp với giải thiết $a^2+b^2+c^2 \ge 3 $ ta sẽ chứng minh kết quả mạnh hơn :

$(b^2+c^2+abc)(c^2+a^2+abc) \ge (a^2+b^2+c^2)(2abc+c^2) $

$\Leftrightarrow \frac{b^2+c^2+abc}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{2abc+c^2}{c^2+a^2+abc} $

$\Leftrightarrow \frac{abc-a^2}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{abc-a^2}{c^2+a^2+abc} $

$\Leftrightarrow \frac{(abc-a^2)(abc-b^2)}{(a^2+b^2+c^2)(c^2+a^2+abc)} \ge 0 $

Vậy ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]