Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 01-06-2012, 11:34 AM   #721
Ng_Anh_Hoang
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: Dải Ngân Hà
Bài gởi: 163
Thanks: 256
Thanked 59 Times in 39 Posts
Một bài trong quyển BCS (bài tập tự luyện) của anh Cẩn, nhờ các bạn giúp
** Cho a, b, c > 0. CM: $\displaystyle (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2 \ge (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Ng_Anh_Hoang, 01-06-2012 lúc 12:02 PM
Ng_Anh_Hoang is offline  
Old 01-06-2012, 11:53 AM   #722
Snow Bell
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 579
Thanks: 10
Thanked 513 Times in 283 Posts
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz:
$$ \displaystyle \sum \frac{a}{b} = \sum \frac{a^2}{ab} \ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} $$.
Lại có $ \sum \dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc} $
Vậy ta cần chứng minh:
$$ \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}. \frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc} \ge (a+b+c).\frac{ab+bc+ca}{abc} $$
$$ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2c+b^2a+c^2b) \ge (ab+bc+ca)^2 $$
Cái này thì hiển nhiên đúng rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Snow Bell, 01-06-2012 lúc 11:55 AM
Snow Bell is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to Snow Bell For This Useful Post:
Ng_Anh_Hoang (30-08-2013), TrauBo (01-06-2012)
Old 01-06-2012, 12:16 PM   #723
TrauBo
Moderator
 
TrauBo's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2011
Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club)
Bài gởi: 1,058
Thanks: 937
Thanked 1,249 Times in 433 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Vinh Phuc View Post
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz:
$$ \displaystyle \sum \frac{a}{b} = \sum \frac{a^2}{ab} \ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} $$.
Lại có $ \sum \dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc} $
Vậy ta cần chứng minh:
$$ \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}. \frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc} \ge (a+b+c).\frac{ab+bc+ca}{abc} $$
$$ \Leftrightarrow (a+b+c)(a^2c+b^2a+c^2b) \ge (ab+bc+ca)^2 $$
Cái này thì hiển nhiên đúng rồi.
Bài này còn có một cách bằng AM - GM bạn nào nghĩ thử xem (hơi dài 1 tí)
TrauBo đang thắc mắc bài sau, xin mọi người cho ý kiến:
Cho $a, b, c >0$ thoả $21ab+2bc+8ca \le 12$. Chứng minh $E=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c} \ge \dfrac{15}{2}$
Đây là bài VN TST 2000, đáp áp là dùng đạo hàm nhưng không hiểu vì sao người ta lại nghĩ ra cách biến đổi kì diệu như thế
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
TrauBo is offline  
Old 01-06-2012, 12:29 PM   #724
Snow Bell
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Apr 2012
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 579
Thanks: 10
Thanked 513 Times in 283 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi TrauBo View Post
Bài này còn có một cách bằng AM - GM bạn nào nghĩ thử xem (hơi dài 1 tí)
TrauBo đang thắc mắc bài sau, xin mọi người cho ý kiến:
Cho $a, b, c >0$ thoả $21ab+2bc+8ca \le 12$. Chứng minh $E=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c} \ge \dfrac{15}{2}$
Đây là bài VN TST 2000, đáp áp là dùng đạo hàm nhưng không hiểu vì sao người ta lại nghĩ ra cách biến đổi kì diệu như thế
Nếu bạn muốn sử dụng AM-GM thì mình có hướng thế này.
Đặt $ \displaystyle x=\frac{a}{b} ; \ y=\frac{b}{c} ; \ z=\frac{c}{a} \Rightarrow xyz=1 $
Khai triển BĐT cần CM ta được $ x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \ge x+y+z+xy+yz+zx+3 $
$ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \ge 3+x+y+z $
Để ý vì $ xyz=1 $ nên $ \sum xy= \sum \dfrac{1}{x} $
Áp dụng AM- GM có: $ 2x^2+\dfrac{1}{x} \ge 3x \Rightarrow 2(x^2+\dfrac{1}{x}) \ge 3x+\dfrac{1}{x} $
$ \Rightarrow \sum (x^2+\dfrac{1}{x}) \ge \dfrac{1}{2}(\sum 3x+\dfrac{1}{x}) $
Cần chứng minh: $ \dfrac{1}{2}(\sum 3x+\dfrac{1}{x}) \ge 3+x+y+z \Leftrightarrow \sum (x+\dfrac{1}{x}) \ge 6 $
Cái này hiển nhiên đúng do đó ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: TrauBo, 03-06-2012 lúc 11:12 AM
Snow Bell is offline  
The Following User Says Thank You to Snow Bell For This Useful Post:
Ng_Anh_Hoang (30-08-2013)
Old 02-06-2012, 05:52 PM   #725
K56khtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2012
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 343
Thanks: 244
Thanked 285 Times in 177 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi batigoal View Post
Bài toán này khi mà các Mathlinker cũng phải bó tay tới thời điểm này, thì đã được em Kiên giải quyết. và đây cũng là cách giải trùng với cách giải batigoal . KHông biết bạn nào có cách giải nào khác nữa không?
Mình nghĩ lời giải này cũng không cơ bắp lắm,ý tưởng tự nhiên nhất nghĩ đầu tiên là quy đồng vì các mẫu chung nhau.Lời giải của Batigoal là thế này mà bảo là cơ bắp thì khá kì lạ.Còn bài toán sau,bạn đã suy nghĩ ra hướng nào khả thi không,trông cũng khá đơn giản nhưng..........
Trích:
Nguyên văn bởi quykhtn View Post

Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa mãn: $ a^2+b^2+c^2=3 $.Chứng minh rằng:
$$ \frac{a}{b+c^3}+\frac{b}{c+a^3}+ \frac{c}{a+b^3} \ge \frac{3}{2} $$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyễn Ngọc Khanh
K56khtn is offline  
Old 09-06-2012, 12:47 PM   #726
pco
+Thành Viên+
 
pco's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 528
Thanks: 560
Thanked 195 Times in 124 Posts
Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\frac{a}{2a^{2}+1}+\frac{b}{2b^{2}+1}+\frac{c}{2 c^{2}+1}\le 1$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
"People's dreams... will never end!" - Marshall D. Teach.
pco is offline  
Old 09-06-2012, 01:24 PM   #727
hungqh
+Thành Viên Danh Dự+
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Bài gởi: 512
Thanks: 209
Thanked 287 Times in 224 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi pco View Post
Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\frac{a}{2a^{2}+1}+\frac{b}{2b^{2}+1}+\frac{c}{2 c^{2}+1}\le 1$$
a)Nếu có số lớn hơn hoặc bằng 2, giả sử đó là $a $ thì ta có
$ \frac{ a }{ 2a^{2}+1 } \leq \frac{ 2 }{ 9} $.
Ta lại có $\frac{b}{2b^{2}+1}+\frac{c}{2c^{2}+1}\leq \frac{1}{ 2\sqrt{ 2 }}+\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $
Từ đó ta có $VT\leq \frac{2}{9}+\frac{1}{\sqrt{2}}\leq 1 $.
Vậy BĐT đúng
b)Nếu 3 số điều bé hơn 2, ta có
$\frac{a}{2a^{2}+1}\leq \frac{4-a}{9}. $
Ta có các biểu thức tương tự rồi cộng lại là có
$VT\leq \frac{12-a-b-c}{9}=1 $
Vậy BĐT cũng đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hungqh is offline  
Old 09-06-2012, 01:38 PM   #728
pco
+Thành Viên+
 
pco's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 528
Thanks: 560
Thanked 195 Times in 124 Posts
Cho $a,b,c>0 $ thỏa
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc +c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}=1 $
Tìm max $a+b+c $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
"People's dreams... will never end!" - Marshall D. Teach.
pco is offline  
Old 09-06-2012, 01:40 PM   #729
vjpd3pz41iuai
+Thành Viên+
 
vjpd3pz41iuai's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 303
Thanks: 129
Thanked 130 Times in 81 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi pco View Post
Cho $a,b,c>0 $ thỏa
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc +c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}=1 $
Tìm max $a+b+c $.
Bài này đã được giải ở đây [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vjpd3pz41iuai is offline  
Old 09-06-2012, 01:43 PM   #730
JokerNVT
+Thành Viên Danh Dự+
 
JokerNVT's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Đến từ: Trần Đại Nghĩa high school
Bài gởi: 571
Thanks: 206
Thanked 355 Times in 241 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi pco View Post
Cho $a,b,c>0 $ thỏa
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc +c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}=1 $
Tìm max $a+b+c $.
Áp dụng C-S cho giả thiết:
$1\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)} $
$\Rightarrow 3(a+b+c)\geq 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2 $
$\Rightarrow a+b+c\leq 3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Tú Văn Ninh
JokerNVT is offline  
Old 15-06-2012, 05:30 PM   #731
sonhadhsp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Đến từ: Giáo viên Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 107
Thanks: 3
Thanked 152 Times in 63 Posts
LỜI GIẢI ĐẸP VÀ NHỮNG ĐIỀU THÚ VỊ XUNG QUANH MỘT BẤT ĐẲNG THỨC VMO

Sau khi đọc lời giải của bài bất đẳng thức VMO 1996 trong cuốn sách mới nhất Tài liệu chuyên toán giải tích 12, tôi xin chia sẻ một số điều thú vị khác xung quanh bài toán này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
sonhadhsp is offline  
The Following User Says Thank You to sonhadhsp For This Useful Post:
Goin (18-06-2012)
Old 15-06-2012, 06:04 PM   #732
hien123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An
Bài gởi: 353
Thanks: 19
Thanked 261 Times in 165 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi sonhadhsp View Post
Sau khi đọc lời giải của bài bất đẳng thức VMO 1996 trong cuốn sách mới nhất Tài liệu chuyên toán giải tích 12, tôi xin chia sẻ một số điều thú vị khác xung quanh bài toán này
Theo em thấy bài toán đó cách đơn giản và hay nhất là sử dụng BĐT Cauchy - Schwarz. Trước hết ta nêu lại nội dung bài toán.
Bài toán. Cho $a,b,c $ là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca+abc=4 $. Chứng minh BĐT.
$$a+b+c\geqslant ab+bc+ca$$
Lời giải.
Ta thấy điều kiện của bài toán tương đương với
$$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=1$$
Từ đó theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có
$$1\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a+b+c)}$$
Hay
$$a+b+c\geqslant ab+bc+ca$$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$z=\left | z \right |e^{i\varphi } $
hien123 is offline  
The Following User Says Thank You to hien123 For This Useful Post:
symaoxinhxan (15-06-2012)
Old 15-06-2012, 06:07 PM   #733
sonhadhsp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Đến từ: Giáo viên Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 107
Thanks: 3
Thanked 152 Times in 63 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hien123 View Post
Theo em thấy bài toán đó cách đơn giản và hay nhất là sử dụng BĐT Cauchy - Schwarz. Trước hết ta nêu lại nội dung bài toán.
Bài toán. Cho $a,b,c $ là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca+abc=4 $. Chứng minh BĐT.
$$a+b+c\geqslant ab+bc+ca$$
Lời giải.
Ta thấy điều kiện của bài toán tương đương với
$$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=1$$
Từ đó theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có
$$1\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a+b+c)}$$
Hay
$$a+b+c\geqslant ab+bc+ca$$
Nếu chỉ dừng lại ở việc giải được bài toán thì có nhiều phương án. Ở đây mình muốn khai thác những điều thú vị khác, từ đó có phương án để sáng tạo ra một loạt bài toán mới. Cách nhìn bài toán này khác so với cách nhìn của bạn Cẩn và thầy Dũng đã trình bày trong cuốn sách. Từ những bài toán khó đã có, sử dụng phương pháp biến đổi được trình bày trong bài viết, ta có thể tạo ra một loạt bài toán khó khác
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: sonhadhsp, 15-06-2012 lúc 06:16 PM
sonhadhsp is offline  
Old 15-06-2012, 07:06 PM   #734
butiloveyou
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2012
Bài gởi: 21
Thanks: 16
Thanked 5 Times in 5 Posts
Em nghĩ anh hien123 giải quyết bài toán chưa hay lắm vì bước biến đổi điều kiện là khó nghĩ (bất khả thi với một số bạn không chịu khó biến đổi) em nêu sơ qua cách của em : chia cả hai vế bdt cần cm cho abc rồi biểu diễn nó theo abc biến đổi tương đương và chú ý $abc \le 1$
------------------------------
à quên vt phải sử dụng bdt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: TrauBo, 15-06-2012 lúc 07:27 PM Lý do: Latex
butiloveyou is offline  
Old 15-06-2012, 07:25 PM   #735
sonhadhsp
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Đến từ: Giáo viên Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 107
Thanks: 3
Thanked 152 Times in 63 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi butiloveyou View Post
Em nghĩ anh hien123 giải quyết bài toán chưa hay lắm vì bước biến đổi điều kiện là khó nghĩ (bất khả thi với một số bạn không chịu khó biến đổi) em nêu sơ qua cách của em : chia cả hai vế bdt cần cm cho abc rồi biểu diễn nó theo abc biến đổi tương đương và chú ý abc =<1
------------------------------
à quên vt phải sử dụng bdt 1/x+1/y+1/z>=9/(x+y+z)
Cách làm của tác giả hien123 khó nghĩ đối với những người giải toán nhưng từ ý tưởng đó các bạn rất dễ sáng tạo bài toán mới.
Với mỗi hằng số dương k, phải cho một điều kiện nào đó tương đương với đẳng thức $ \frac{a}{a+k} +\frac{b}{b+k}+\frac{c}{c+k} =1 $. Áp dụng bất đẳng thức như bạn hien123 có thể tạo ra một bất đẳng thức đẹp giữa a+b+c và ab+bc+ca.
Nhiều khi, người sáng tác bài tập phải ' BẮT ĐẦU TỪ CÁI KẾT THÚC', từ đó biến đổi giả thiết khác đi để không lộ ý tưởng của 'CÁI KẾT THÚC' và người giải toán phải mò lại từ đầu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: sonhadhsp, 15-06-2012 lúc 07:30 PM
sonhadhsp is offline  
The Following User Says Thank You to sonhadhsp For This Useful Post:
butiloveyou (15-06-2012)
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:01 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 102.71 k/118.83 k (13.57%)]