Topic giải bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm số,đạo hàm.

[what'slove]

Sao lâu nay không có bài mới nữa vậy?? Mình theo dõi mãi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenThanhThi]

Nguyên văn bởi what'slove

Sao lâu nay không có bài mới nữa vậy?? Mình theo dõi mãi

Bạn nào có bài hay thì đăng lên để cùng trao đổi nhé!

Bài 17
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng $3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P= \frac{3}{1006}(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}) + 4abc$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tantaria]

Nguyên văn bởi NguyenThanhThi

Bạn nào có bài hay thì đăng lên để cùng trao đổi nhé!

Bài 17
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng $3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P= \frac{3}{1006}(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}) + 4abc$$

Bài này đã được trao đổi ở đây bằng cách giài thuần tuý

[Only registered and activated users can see links. ]

Đăng nhập để thấy rõ

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungthu10t]

Bài 18:Cho $a,b,c\geq0 $ và $a+b+c=1 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của$ P= 2a^3b+3b^2+4c $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenThanhThi]

Lời giải bằng hàm cho bài 17

Áp dụng cauchy ta có $a^{2012}+1005=a^{2012}+1+1+...+\geq1006a^2
$
Suy ra $P \geq 3(a^2+b^2+c^2)+4abc-\frac{9045}{1006}$

Không mất tính tổng quát giả sử $0<a\leq b \leq c $ suy ra $1\leq c<\frac{3}{2}$

Ta có

$Q=3(a^2+b^2+c^2)+4abc=3c^2+3(a+b)^2-6ab+4abc$

$=3c^2+3(3-c)^2-2ab(3-2c) \geq 3c^2+3(3-c)^2-2(\frac{3-c}{2})^2(3-2c)$

$=c^3-\frac{3}{2}c^2+\frac{27}{2}=f(c)$

Xét hàm số $f'(c)=3c^2-3c \geq0$ trên đoạn $1\geq c>\frac{3}{2}$

Suy ra $f(c) \geq f(1)=13$

Do đó $P \geq 13-\frac{9045}{1006}=\frac{4033}{1006}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[haptrung]

Nguyên văn bởi trungthu10t

Bài 18:Cho $a,b,c\geq0 $ và $a+b+c=1 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của$ P= 2a^3b+3b^2+4c $

Bạn xem lại đề nhé. Nếu đúng thì?

Do $a,b,c\geq 0$ nên $minP=0$ khi $a=1;b=c=0$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguoibimat]

Đề đúng bài 18 là như thế này $P=2a^3+3b^2+4c$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tantaria]

Nguyên văn bởi nguoibimat

Đề đúng bài 18 là như thế này $P=2a^3+3b^2+4c$

Bài này được phân tích kĩ ở đây cũng bằng phương pháp hàm số, đạo hàm.
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguoibimat]

Bài 19:Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $3\left(x^{2}+y^{2} \right)=2\left(x+y \right)$. Tìm GTNN của biểu thức:
$$P=\left(x+\frac{1}{y} \right)^{2}+\left(y+\frac{1}{x} \right)^{2}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Snow Bell]

Bài 18 ngoài cách giải bằng hàm ta cũng có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

Nguyên văn bởi nguoibimat

Bài 19:Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $3\left(x^{2}+y^{2} \right)=2\left(x+y \right)$. Tìm GTNN của biểu thức:
$$P=\left(x+\frac{1}{y} \right)^{2}+\left(y+\frac{1}{x} \right)^{2}$$

Từ giả thiết ta suy ra $ x+y \le \dfrac{4}{3} $, biến đổi vế trái ( tức là thay $ x^2+y^2=\dfrac{2(x+y)}{3} $ ) ta được:
$$ \left(x+\frac{1}{y} \right)^2+\left(y+\frac{1}{x} \right)^2=\frac{2(x+y)}{3}+\frac{4(x+y)}{3xy}+ \frac{2(x+y)}{3x^2y^2} $$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay:
$$ \frac{2(x+y)}{3}+\frac{4(x+y)}{3xy}+\frac{2(x+y)}{ 3x^2y^2} \ge \frac{2(x+y)}{3}+\frac{16}{3(x+y)}+\frac{32}{3(x+y )^3} $$
Đặt $ n=x+y $ ( chú ý rằng $ n \le \dfrac{4}{3} $ ), ta quay về xét hàm:
$$ \frac{2n^4+16n^2+32}{3n^3} $$
Hàm này có $ f'(n)=\dfrac{2(n^2-12)(n^2+4)}{3n^4}<0 $ do đó $ f(n) \ge \dfrac{169}{18} $
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=\dfrac{2}{3} $

Mình đóng góp thêm một bài nữa, có lẽ là cũng khá quen thuộc.
Bài 20: Cho $ x, y, z \in [0; 1] $ thỏa mãn $ x+y+z=\dfrac{3}{2} $. Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ x^2+y^2+z^2 $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[haky]

Bài 21: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{ab+bc+ca}$ .

Bài mới

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungthu10t]

Bài 20: Cho $ x, y, z \in [0; 1] $ thỏa mãn $ x+y+z=\dfrac{3}{2} $. Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ x^2+y^2+z^2 $$

Ta có:$x^2+y^2+z^2\leq (x+y+z)^2= \frac{9}{4} $
Dấu bằng xảy ra khi$x=y=0;z= \frac{3}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Snow Bell]

Nguyên văn bởi trungthu10t

Bài 20: Cho $ x, y, z \in [0; 1] $ thỏa mãn $ x+y+z=\dfrac{3}{2} $. Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ x^2+y^2+z^2 $$

Ta có:$x^2+y^2+z^2\leq (x+y+z)^2= \frac{9}{4} $
Dấu bằng xảy ra khi$x=y=0;z= \frac{3}{2} $

Có vẻ bạn hơi hấp tấp khi cho đẳng thức xảy ra tại $ z=\dfrac{3}{2} $ rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungthu10t]

Nguyên văn bởi Snow Bell

Có vẻ bạn hơi hấp tấp khi cho đẳng thức xảy ra tại $ z=\dfrac{3}{2} $ rồi.

Mình ẩu quá
Xin được sửa lại
Không mất tính tổng quát$z=max(x,y,z) $,$\Rightarrow \frac{1}{2}\leq z\leq 1 $
$x^2+y^2+z^2 \leq (x+y)^2+z^2=(\frac{3}{2}-z)^2+z^2 $
Xét hàm số $f(z)=2z^2-3z+\frac{9}{4} $ với $\Rightarrow \frac{1}{2}\leq z\leq 1 $
Từ đây,ta tím được GTLN=$\frac{5}{4} $ khi $x=\frac{1}{2},z=1,y=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenThanhThi]

Bài 22:
Cho $0\leq a,b,c \leq 1$.Tìm max $P=\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]