Đề thi chọn đội tuyển Chuyên KHTN Năm học 2014 -2015

[HoangHungChels]

Đề thi chọn đội tuyển Chuyên KHTN Năm học 2014 -2015 Thời gian: $210$ phút

Câu 1: Tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn:
$$P(x^{3})+x(P(x))^{2}=(P(x))^{3}+xP(x^{2})$$

Câu 2: Cho $n\in \mathbb{Z^+}$. CMR: Tồn tại $m\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn: $2^m \equiv 2015 \pmod{3^n}$ và $2^m\equiv 3^{2015} \pmod{5^n}$

Câu 3: $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ cố định, $B,C$ cố định, $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$. Đường tròn $I$ nội tiếp lần lượt tiếp xúc $CA,AB$ tại $E,F$. $IB,IC$ cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C$. Gọi $S,T$ là tâm ngoại tiếp $IFN, IEM$. Lấy $P\in ST$ sao cho $IP// BC$. Gọi đường thẳng qua $A$ vuông góc với $IA$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $K$, $J$ là trung điểm $OI$. Lấy $Q$ thuốc $JL$ sao cho $PQ=PI$. CMR: $IQ$ đi qua một điểm cố đinh khi $A$ di chuyển.

Câu 4: Cho tập $S$ có $2015$ phần tử. Với mỗi số $n\leq 2^{2015}$ xét tập con $A_i$ phân biệt của $S$. Đặt $B_i=S-A_i$ là phần bù của $A_i$ trong $S$ . Với $1\leq i\leq n$ được đánh dấu một trong hai tập $A_i,B_i$. Tìm $n$ nhỏ nhất để mọi cách chọn thì đều có một cách đánh dấu sao cho hợp của các tập được đánh dấu là $S$.

________________

Nguồn VMF.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]