Hai bài dãy số

[22021993hh]

1) chứng minh $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \cdots +\frac{1}{n} $ tiến về dương vô cực
2) Tính $\lim \left( \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+ \cdots+\frac{1}{n^2} \right) $
Mấy bạn giúp dùm mình giải 2 bài trên mà bằng cách ngắn nhất có thể nha, cám ơn mấy bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

1) Áp dụng bất đẳng thức $x>\ln (1+x) \; \forall x>0 $, ta có $\frac{1}{k} > \ln \frac{k+1}{k} $
$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} > \ln (n+1) \Rightarrow \lim \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = +\infty $
2) [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hikimaru]

Bài 1 có thể dùng tiêu chuẩn Cauchy xét ${u}_{2n}-{u}_{n}>\frac{1}{2} $ mà dễ thấy dãy này tăng nên nó tiến đến vô cùng!!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[22021993hh]

Nguyên văn bởi hikimaru

Bài 1 có thể dùng tiêu chuẩn Cauchy xét ${u}_{2n}-{u}_{n}>\frac{1}{2} $ suy ra dãy không có giới hạn!!!!

ủa không có giới hạn chắc gì nó đã về vô cực.
À mấy bạn sẵn giú dùm bài này luôn hén, quen không hà
$lim\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi 22021993hh

ủa không có giới hạn chắc gì nó đã về vô cực.
À mấy bạn sẵn giú dùm bài này luôn hén, quen không hà
$lim\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} $

Thì từ $u_{2n} - u_n > \frac{1}{2} $ là có thể suy ra dãy này tiến về vô cực rồi mà em.

Bài phía dưới nếu xét dưới dạng chuỗi số thì theo tiêu chuẩn đối với dãy đan dấu có dạng $u_n = \sum (-1)^{k-1}a_k $
với $a_k $ là dãy giảm và tiến về 0 thì nó hội tụ.
Chuỗi số đã nêu thỏa mãn tiêu chuẩn này vì $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} $ và dãy $a_n = \frac{1}{n} $ tiến về 0 khi n tiến tới vô cực.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi 22021993hh

ủa không có giới hạn chắc gì nó đã về vô cực.
À mấy bạn sẵn giú dùm bài này luôn hén, quen không hà
$\lim\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} $

Dãy này có giới hạn là $-\ln 2 $
Tổng quát thì ta có $\lim \sum_{k=1}^{n} \frac{(-x)^k}{k} = -\ln (x+1) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[4eyes_l0vely]

Không giới hạn tức là vô cùng đó bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Xét dãy $(-1)^n $, dãy này không có giới hạn, vậy thì suy ra dãy này tiến đến $\infty $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[22021993hh]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Thì từ $u_{2n} - u_n > \frac{1}{2} $ là có thể suy ra dãy này tiến về vô cực rồi mà em.

Ngộ thật, em vẫn không hiểu, vậy nếu dãy $u_{2n} $ đó có $u_{2n+1}<0 $ còn $u_{2n+2}>0 $ với mọi $n $ mà $|u_{n}| $ đủ lớn thì $u_{2n} - u_n > \frac{1}{2} $ có nói lên được gì đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kryptios]

Dãy đó là dãy dương đơn điệu tăng không bị chặn nên rõ ràng là tiến về vô cực rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]