Hướng tới kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2012 - Page 7

bboy114crew · 10-03-2012, 11:58 AM

Trích:

Nguyên văn bởi kien10a1

Bài này được biến đổi ra từ USA TST 2009:

$\[ x^{3}(y^{2}+z^{2})^{2}+y^{3}(z^{2}+x^{2})^{2}+z^{3 }(x^{2}+y^{2})^{2}\geq xyz[xy(x+y)^{2}+yz(y+z)^{2}+zx(z+x)^{2}]. \] $(chuẩn hóa xyz=1 là có bài trên)
Đặt $x=1/a,y=1/b,z=1/c $
Bất đẳng thức trên tương đương: $\sum a^{2}(b+c)(a-b)(a-c)\ge 0. $, đúng theo Vornicu schur ( cách của anh Cẩn)

Ta có:
$ 9+\sum {x^{3}y^{3}} \ge \sum {xy} \sum{x} + \frac{(\sum{xy})^{2}}{\sum x} $
$\Leftrightarrow \frac{9}{xyz}+\sum\frac{1}{x^{3}} \ge \sum\frac{1}{x}\sum\frac{1}{xy} + \frac{(\sum\frac{1}{x})^{2}}{\sum x}$
Đặt $ \frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c $
Ta cần chứng minh:
$ 9abc+\sum a^{3} \ge \sum{ab}\sum{a} + \frac{(\sum a)^{2}abc}{\sum{ab}} $
$ \Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b-c)+(b-c)^{2}(b+c-a)+(c-a)^{2}(c+a-b) \ge \frac{abc}{\sum{ab}}((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}) $
Sử dụng S.O.S:
$ S_{a}=b+c-a-\frac{abc}{\sum{ab}},S_{b}=c+a-b-\frac{abc}{\sum{ab}},S_{c}=a+b-c-\frac{abc}{\sum{ab}} $
Không mất tính tổng quát ta giả sử :
$ a\ge b \ge c $
Khi đó ta có:
$ S_{a}+S_{b} > 0,S_{a}+S_{c} > 0,S_{c}+S_{b} > 0 $ and $ S_{b} \ge c-\frac{abc}{\sum{ab}} \ge 0 $
Ta có ĐPCM!

**chemthan** · 10-03-2012, 03:12 PM

Trích:

Nguyên văn bởi navibol

Cho x=0 ta suy ra
$f(5y^{4}+10z^{4})=f(5y^{4})+f(10z^{4}) $
hay
$f(x+y)=f(x)+f(y) $

Chỗ này sai rồi.

kien10a1 · 10-03-2012, 05:50 PM

Bài 37: Bài này là USA MO 2006 :[Only registered and activated users can see links. ]

**namdung** · 11-03-2012, 06:28 PM

Trích:

Nguyên văn bởi macdangnghi

Bài 29.
a) Tìm tất m nguyên dương sao cho $m^2-1 $ là ước của $3^m+5^m $.

Bài này là một bài thú vị,ai có ý tưởng gì không? Hình như chỉ có nghiệm m = 3.

**namdung** · 12-03-2012, 08:24 PM

Hình như mọi người vẫn thiên về gửi đề bài hơn là giải, phân tích và bình luận.

Một điểm yếu của HS Việt Nam là mảng tổ hợp. Vì vậy tôi tổng hợp và biên soạn tài liệu nhỏ này giúp các bạn thí sinh có thêm tài liệu để ôn tập, các thầy cô giáo cũng có thể dùng để dạy thêm cho các bạn (ở mức độ VMO nâng cao và TST).

Các ý kiến đóng góp, bổ sung, thắc mắc xin gửi lên diễn đàn hoặc địa chỉ trannamdung@yahoo.com

mathscope_me · 12-03-2012, 10:23 PM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Hình như mọi người vẫn thiên về gửi đề bài hơn là giải, phân tích và bình luận.

Một điểm yếu của HS Việt Nam là mảng tổ hợp. Vì vậy tôi tổng hợp và biên soạn tài liệu nhỏ này giúp các bạn thí sinh có thêm tài liệu để ôn tập, các thầy cô giáo cũng có thể dùng để dạy thêm cho các bạn (ở mức độ VMO nâng cao và TST).

Các ý kiến đóng góp, bổ sung, thắc mắc xin gửi lên diễn đàn hoặc địa chỉ [Only registered and activated users can see links. ]

thầy ơi, sao không đọc được ạ, đây là word à thầy

**namdung** · 12-03-2012, 10:36 PM

Đây là file định dạng XPS, có thể dùng các phần mềm PSViewer để xem. Cũng gần giống PDF vậy.

5434 · 12-03-2012, 10:42 PM

Trích:

Nguyên văn bởi namdung

Bài này là một bài thú vị,ai có ý tưởng gì không? Hình như chỉ có nghiệm m = 3.

Thưa thầy, thầy có ý kiến gì về bài này không ạ ?

**Traum** · 12-03-2012, 11:57 PM

Pdf version file của thầy namdung.

kien10a1 · 13-03-2012, 02:36 AM

Trích:

Nguyên văn bởi 5434

Thưa thầy, thầy có ý kiến gì về bài này không ạ ?

Mình cũng mới chỉ cm được m có dạng 24k+3 hoặc 24k-3, và không còn hướng gì nữa.

**namdung** · 13-03-2012, 03:32 PM

Các bạn có thể tìm hiểu thêm về bài toán này ở chủ đề sau:

http://mathoverflow.net/questions/16...g-exponentials

Theo như lời của Kevin Buzzard thì bài toán này lấy trong cuốn "Problems from the Book" của Andreescu và Dospinescu và chính ông Andreescu đã nói là đề sai, và ông không có lời giải của bài toán.

The source of the question is "Problems from the Book" by Andreescu and Dospinescu. I finally emailed Andreescu yesterday asking what was going on. He apologised---he says there's a typo in the book. He says he doesn't know how to answer the question. So I think the question should currently be regarded as an open problem. I'll remark that I made a comment under the original question which as I write has 11 upvotes and now has a serious chance of being false ;-)

gogo123 · 15-03-2012, 09:16 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Mashimaru

Bài 17. Với mỗi số thực dương $\alpha $, ký hiệu $S(\alpha) = \{[n\alpha]: n = 1, 2,...\} $. Chứng minh rằng không tồn tại các số thực dương $\alpha, \beta, \gamma $ sao cho ta có phân hoạch $\mathbb{N} = S(\alpha) \cup S(\beta) \cup S(\gamma) $.

Lời giải bài này đây:

**Mr Stoke** · 15-03-2012, 09:46 PM

Trích:

Nguyên văn bởi macdangnghi

Bài 29.
a) Tìm tất m nguyên dương sao cho $m^2-1 $ là ước của $3^m+5^m $.

b) Tìm m nguyên dương sao cho $5^{m}+3^{m} $ chia hết cho $m^{2}-1 $.

c) Tìm các số nguyên dương $a,b,n (a>b) $ thỏa mãn $n^{a}|a^{n}+b^{n} $.

Đang cần tĩnh dưỡng mà post bài nhiệt tình thế bạn ơi.

Mấy bài này có vẻ câu b) không có ý nghĩa lắm vì độ tăng của $5^m+3^m $ "khỏe" hơn rất nhiều so với $m^2-1 $. Tuy nhiên, câu (a) bài này khá hay. MS cũng tò mò xem có bạn nào giải được bài này không? Theo trí nhớ của MS thì tác giả bài này là harazi (Gabriel Dospinescu), và đã từng post trên ML cách đây mấy năm.
------------------------------
Nhân tiện, hưởng ứng sự nhiệt tình của các bạn, MS gửi tặng 1 bài (bài này MS ban đầu định ra làm đề chọn đội tuyển sphn năm nay). Các bạn cùng suy nghĩ xem

Bài 38: Cho $m\geq5 $ là một số nguyên và $a $ là số nguyên có dạng $16k+1 $. Xét dãy số $(u_n) $ được xác định bởi $u_0=0, u_1=1, u_{n+2}=u_{n+1}+a\cdot u_n $ với mọi $n\geq0 $. Kí hiệu $v_n $ là số dư của $u_n $ khi đem chia cho $2^m $. Chứng minh rằng $(v_n) $ tuần hoàn và tìm chu kì bé nhất của dãy đó.

5434 · 18-03-2012, 10:47 AM

Bài 39 CHo các số dương a,b,c,d thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $
Chứng minh rằng $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}} \leq 2(a+b+c+d-2) $

quykhtn · 18-03-2012, 05:24 PM

Trích:

Nguyên văn bởi 5434

Bài 39 Cho các số dương a,b,c,d thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $
Chứng minh rằng
$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}} \leq 2(a+b+c+d-2) $

Bài này hình như là bài thi olympic Poland cách đây mấy năm.
Có thể chứng minh bài toán này dựa vào đánh giá: $ \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} \le \frac{a^2+b^2}{a+b} $.

Bài 40
Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $ 2(x^4-y^4)=z^2 $.

Bài 41
Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa mãn: $ a^2+b^2+c^2=3 $.Chứng minh rằng:

$ \frac{(1-a)(1-ab)}{a(1+c)}+\frac{(1-b)(1-bc)}{b(1+a)}+\frac{(1-c)(1-ca)}{c(1+b)} \ge 0 $

.

10-03-2012, 05:50 PM	#93
kien10a1 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc Bài gởi: 371 Thanks: 43 Thanked 263 Times in 153 Posts	Bài 37: Bài này là USA MO 2006 :[Only registered and activated users can see links. ] __________________ Quay về với nơi bắt đầu

18-03-2012, 10:47 AM	#104
5434 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Đến từ: no*i ty bă't đâ'u Bài gởi: 695 Thanks: 121 Thanked 335 Times in 214 Posts	Bài 39 CHo các số dương a,b,c,d thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $ Chứng minh rằng $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}} \leq 2(a+b+c+d-2) $ __________________ thay đổi nội dung bởi: 5434, 18-03-2012 lúc 10:52 AM

12-03-2012, 10:36 PM	#97
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Đây là file định dạng XPS, có thể dùng các phần mềm PSViewer để xem. Cũng gần giống PDF vậy.

13-03-2012, 03:32 PM	#101
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Các bạn có thể tìm hiểu thêm về bài toán này ở chủ đề sau: http://mathoverflow.net/questions/16...g-exponentials Theo như lời của Kevin Buzzard thì bài toán này lấy trong cuốn "Problems from the Book" của Andreescu và Dospinescu và chính ông Andreescu đã nói là đề sai, và ông không có lời giải của bài toán. The source of the question is "Problems from the Book" by Andreescu and Dospinescu. I finally emailed Andreescu yesterday asking what was going on. He apologised---he says there's a typo in the book. He says he doesn't know how to answer the question. So I think the question should currently be regarded as an open problem. I'll remark that I made a comment under the original question which as I write has 11 upvotes and now has a serious chance of being false ;-)