Một bất đẳng thức

[bboy114crew]

Nguyên văn bởi khtoan

Cho a,b,c>0, CMR
$2(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq (a+1)(b+1)(c+1)(abc+1) $

Nguyên văn bởi daylight

Sử dụng
$2(a^2+1)^3 \ge (a+1)^3(a^3+1) $
thật vậy vì nó tương đương $(a-1)^4(a^2+a+1) \ge 0 $
Lập các BDT tương tự rồi nhân lại sau đó sử dụng



Ta có điều phải chứng minh.

Thử sức bài tương tự :
$a,b,c,d>0 $ thỏa mãn$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $.Chứng minh

$\sum^{a,b,c,d}_{cyc} \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} +4 \le 2(a+b+c+d) $

Cách 2:
đặt :$a=\frac{1-x}{1+x};b=\frac{1-y}{1+y};c=\frac{1-z}{1+z} $
khi đó:
$\frac{a^2+1}{a+1}=\frac{x^2+1}{x+1}; $
$\frac{b^2+1}{b+1}=\frac{y^2+1}{y+1} $
$\frac{c^2+1}{c+1}=\frac{z^2+1}{z+1} $
$abc+1=\frac{2(xy+yz+zx+1)}{(x+1)(y+1)(z+1)} $
BDT trở thành:
$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1) \geq xy+yz+zx+1 $
$\Leftrightarrow \sum x^2y^2+ \sum x^2 \geq \sum xy $
theo AM-GM:
$\sum x^2 = \sum \frac{x^2+y^2}{2} \geq \sum|xy| \geq \sum xy $
và $\sum x^2y^2 \geq 0 $
$\Rightarrow dpcm $
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]