Tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm

[MJ9xMath]

Cho $\[ABC\] $ nội tiếp đường tròn $(O) $. G là 1 điểm nằm trong mặt phẳng tam giác sao cho G không nằm trên đường tròn $(O) $ hay nằm trên các cạnh tam giác. Gọi $\[{A_1},{B_1},{C_1}\] $ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác GBC; GCA; GAB. Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi O là trọng tâm tam giác $\[{A_1}{B_1}{C_1}\]
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[RAIZA]

Nguyên văn bởi MJ9xMath

Cho $\[ABC\] $ nội tiếp đường tròn $(O) $. G là 1 điểm nằm trong mặt phẳng tam giác sao cho G không nằm trên đường tròn $(O) $ hay nằm trên các cạnh tam giác. Gọi $\[{A_1},{B_1},{C_1}\] $ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác GBC; GCA; GAB. Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi O là trọng tâm tam giác $\[{A_1}{B_1}{C_1}\]
$

Gọi $C_{2} $ là giao điểm của $GC $ và $A_{1}B_{1} $ , $C_{3} $ là giao điểm của $C_{1}O $ và $A_{1}B_{1} $ .
Dễ thấy $B_{1}C_{1} \perp AG $ , $B_{1}A_{1} \perp CG $ , $OB_{1} \perp AC $ .
Vì vậy:
+) $\overline{(C_{1}C_{3};C_{1}A_{1})}=\overline{(BC_{ 2};BG)} (mod \pi) $
+)$\overline{(A_{1}C_{1};A_{1}C_{3})}=\overline{(A_{1 }C_{1};A_{1}O)}+\overline{(A_{1}O;A_{1}C_{1})}= \overline{(BG;BC)}+\overline{(CB;CG)}=\overline{(G B;GC)}=\overline{(GB;GC_{2})} (mod \pi) $
Suy ra tam giác $GBC_{2} $ đồng dạng cùng hướng với tam giác $A_{1}C_{1}C_{3} $ , dẫn đến $\frac{A_{1}C_{3}} {GC_{2}}=\frac{C_{1}C_{3}} {BC_{2}} $ .Tương tự $\frac{B_{1}C_{3}} {GC_{2}}=\frac{C_{1}C_{3}} {AC_{2}} $ .Từ đây dễ dàng suy ra $C_{2} $ là trung điểm $AB $ khi và chỉ khi $C_{3} $ là trung điểm $A_{1}B_{1} $ . (1)
Xác định các điểm $B_{2} , B_{3} $ tương tự .Khi ấy ta cũng có $B_{2} $ là trung điểm $CA $ khi và chỉ khi $B_{3} $ là trung điểm $C_{1}A_{1} $ . (2)
Ta có các điều kiện sau tương đương:
1) $G $ là trọng tâm tam giác $ABC $
2) $C_{2} $ là trung điểm $AB $ và $B_{2} $ là trung điểm $CA $
3) $C_{3} $ là trung điểm $A_{1}B_{1} $ và $B_{3} $ là trung điểm $C_{1}A_{1} $
4) $O $ là trọng tâm tam giác $A_{1}B_{1}C_{1} $
Chú ý hiển nhiên 1) tương đương với 2), 2) tương đương với 3) do (1) và (2), hiển nhiên 3) tương đương với 4) .Suy ra đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[terencetao25]

Bạn post lại được không mình không đọc được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[imalx]

Đầu bài chắc tương tự như sau: $G$ là điểm bất kỳ trong mặt phẳng $\Delta ABC$ … Tâm ba đường tròn $(GBC), (GCA), (GAB)$ lần lượt là $X, Y, Z$. CMR $O$ là trọng tâm $\Delta XYZ$ khi và chỉ khi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

Lời giải:
Gọi $D, E, F$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$ và $M, N$ là giao của $BC$ lần lượt với $(Z), (Y)$. Gọi $H, L, K$ lần lượt là trung điểm $XY, YZ, XZ$.
* Nếu $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ ta sẽ chứng minh $O$ là trọng tâm $\Delta XYZ$.
Hiển nhiên là $O, D, X$ thẳng hàng cũng như $O, E, Y$ và $O, F, Z$. Lại có $D$ nằm trên trục đẳng phương của $(Y), (Z)$ nên $DM.DB = DN.DC$ dẫn đến $D$ là trung điểm của $MN$.
Dễ thấy $\angle GMN = \angle BAG = \angle GZY$, tương tự $\angle GNM = \angle OYZ$ nên $\Delta GMN\sim \Delta OZY$. Nếu gọi $L’$ là giao điểm của $OX$ với $YZ$ thì do $\Delta DGM = \Delta DBA = \Delta L’OZ$ (các đôi cạnh góc vuông góc với nhau) nên trong cặp tam giác đồng dạng nói trên, $OL'$ tương ứng với $GD$, dẫn đến là $L'\equiv L$ hay $OX$ đi qua trung điểm của $YZ$.
Tương tự như vậy $OY$ đi qua trung điểm của $XZ$ nên $O$ là trọng tâm $\Delta XYZ$.
* Nếu $O$ trùng với trọng tâm $\Delta XYZ$ ta sẽ chứng minh $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Hiển nhiên là $O, D, X$ cũng như $O, E, Y$ và $O, F, Z$ thẳng hàng. Tương tự như trên $\Delta OMN \sim \Delta OZY$. Gọi $D’$ là giao điểm của $AG$ với $BC$ thì do $\angle D’GM = \angle MBA = \angle ZOL$ nên trong cặp tam giác đồng dạng trên $GD’$ tương ứng với $OL$ hay $D’$ là trung điểm của $MN$. Lại do $D’$ nằm trên trục đẳng phương của $(Y), (Z)$ nên $D’M. D’B = D’N. D’C$ dẫn đến $D’$ là trung điểm $BC$ hay $D’\equiv D$.
Tương tự như thế, $GB$ đi qua $E$ nên $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]