Câu IV-2 khối D năm 2008

[n.t.tuan]

Cho x,y là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2} $.

Anh em có bao nhiêu cách? :hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanviethd]

Em chọn trước , em se lượng giác hóa theo hàm tan
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Bạn cứ gõ lời giải chi tiết ra đi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trung anh]

$P=\frac{x}{(1+x)^2}-\frac{y}{(1+y)^2} $
$|\frac{x}{(1+x)^2}|\leq \frac{1}{4} \Rightarrow $ đpcm
Đơn giản ngắn gọn không mất thời gian
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Quân -k47DHV]

Nguyên văn bởi n.t.tuan

Bạn cứ gõ lời giải chi tiết ra đi.

de thi đại học thì lượng giác hóa cũng là 1 pp khá hiệu quả
với mọi $x ,y \ge 0 $ta dặt $x=tan a , y=tan b $ (trong đó a$,b \in (0,\frac{\pi }{2}) $)
thế thì
$x - y = \frac{sin(a-b) }{cos a cos b} $, $(1-xy)= \frac{cos(a+b) }{cos a cosb } $ , $(1+x)^2 = \frac{1+sin2a}{cos^2 a} $
và $sin2a - sin2b = 2cos(a+b) sin(a-b) $
vậy biểu thức$ P= \frac{1}{2} ( \frac{1}{1+sin2a} - \frac{1}{1+sin2b}) $. nên nhớ $sin2a ,sin2b \in [0,1] $ do đó $maxP = \frac{1}{4} $ khi $x = 1,y=0 $va $minP = \frac{-1}{4} $ khi$ x=0 ,y=1 $

==============

Nguyên văn bởi trung anh

$P=\frac{x}{(1+x)^2}-\frac{y}{(1+y)^2} $
$|\frac{x}{(1+x)^2}|\leq \frac{1}{4} \Rightarrow $ đpcm
Đơn giản ngắn gọn không mất thời gian

chắc là cách ngắn nhất rồi.
không ai post nguyên đề giúp mình cái
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanviethd]

Bác Tuấn còn cách khác không ? Đừng del ý kiến của em nha
==============
Bác nào post cả đề khối B , D cho anh em xem với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Cách 1: Xét $P^2 $ , đặt S=x+y,P=xy.
Cách 2: Lượng giác như chú trên.
Cách 3: Xét x>y, cố định x xét hàm theo y trên đoạn [0;x].

Chắc là ra.:hornytoro:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanviethd]

Bác cứ gõ chi tiết ra đi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dduclam]

Nguyên văn bởi n.t.tuan

Cách 1: Xét $P^2 $ , đặt S=x+y,P=xy.
Cách 2: Lượng giác như chú trên.
Cách 3: Xét x>y, cố định x xét hàm theo y trên đoạn [0;x].

Chắc là ra.:hornytoro:

Cách 4: Đặt $a=x+1,b=y+1 $ thì $a,b\ge1 $
$P=\frac{(a-b)(a+b-ab)}{a^2b^2}=(\frac1{b}-\frac1{a})(\frac1{b}+\frac1{a}-1)=(\frac1{b}-\frac1{2})^2-(\frac1{a}-\frac1{2})^2 $
Vì $0\le(\frac1{b}-\frac1{2})^2;(\frac1{a}-\frac1{2})^2\le\frac1{4} $ Suy ra $MaxP=\frac1{4};MinP=-\frac1{4}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dduclam]

Còn đây là gợi ý giải đề khối D do nhóm CTV tạp chí TTT làm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

Nguyên văn bởi n.t.tuan

Cho x,y là các số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=\frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2} $.

Anh em có bao nhiêu cách? :hornytoro:

Cái này thì nhiều cách lắm, có cách khác nữa là;

$|P|\le \frac{(x+y)(1+xy)}{(1+x+y+xy)^2}\le \frac{1}{4} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]