Topic về hệ phương trình

[Thien tai]

Nguyên văn bởi winwave

$ \left\{\begin{array}{l}x(y+z)=x^2+2\\y(x+z)=y^2+3 \\ z(x+y)=z^2+4\\\end{array}\right. $
Bài này có chưa nhỉ

chắc là chưa đâu bạn nên đánh số bài vào để tiện cho mọi người theo dõi
$(1) \Leftrightarrow x(y+z-x)=2 $. Trừ từng vế của (2) cho (3) ta được:
$x(y-z)=(y-z)(y+z)-1 \Leftrightarrow (2y-2z)(y+z-x)=2 $
suy ra $y+z=x \vee 2y - 2z =x $
đến đây bạn tự làm tiếp.!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[PhanHuy_yb]

Nguyên văn bởi batigoal

Bài 61Đây là 1 bài hệ khá hay.Tương tự kiểu đề thi khối A 2010

$\begin{cases}
& 4x^2+2\sqrt{1+(2x-y)^2}=8xy^3+2y^3+1 (1)\\
& \sqrt{xy-x^2y^2}=y^6+y^3+2x^2 (2)\\

\end{cases}
$

Cho mình chém bài này
ĐK $0\leq xy\leq 1 $
$(2)\Rightarrow 2y^{3}=2\sqrt{xy-x^{2}y^{2}}-2y^{6}-4x^{2} $
Thế vào (1)$\Rightarrow 8x^{2}+2y^{6}+2\sqrt{1+(2x-y)^{2}}=8xy^{3}+2\sqrt{xy-x^{2}y^{2}}+1
$
áp dụng bđt cosi $8x^{2}+2y^{6}\geq 8xy^{3}\Rightarrow 2\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} +1\geq 2\sqrt{1+(2x-y)^{2}} $
Mặt khác
$1=xy+1-xy\geq 2\sqrt{xy(1-xy)}\Rightarrow 2\geq 2\sqrt{xy(1-xy)}+1\geq 2\sqrt{1+(2x-y)^{2}}
$
Mà $2\sqrt{1+(2x-y)^{2}}\geq 2 $
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x= \frac{1}{2}, y =1
$
Thế vào hệ đầu thấy ko thỏa nên hệ vô nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Bạn giải thiếu rồi.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $y^3=2x; xy=\frac{1}{2} ; 2x-y=0 $.
Giải ra có $x=\frac{1}{2}; y=1 $ và
$x=-\frac{1}{2}; y=-1 $. Thử lại, lấy nghiệm thứ 2 là $x=-\frac{1}{2}; y=-1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ttytty]

E có bài hệ này nè :
$ \begin{cases}y-3x+7=x(x-3)^2\\ \sqrt{x^3+y^3-2} = 3 \sqrt{x^2-x+1}\end{cases} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[avip]

Nguyên văn bởi ttytty

E có bài hệ này nè :
$ \begin{cases}y-3x+7=x(x-3)^2\\ \sqrt{x^3+y^3-2} = 3 \sqrt{x^2-x+1}\end{cases} $

Bài này hình như có nghiệm dạng lượng giác (Nếu đưa y về x thì hệ trên suy ra một PT bậc 9 theo x, PT này chỉ có một nghiệm và nghiệm xấu).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ino_chan]

Giải hpt :
$\[\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{4x^2}{1 + 4x^2} = y \\
\dfrac{4y^2}{1 + 4y^2} = z \\
\dfrac{4z^2}{1 + 4z^2} = x
\end{array} \right.\] $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[haptrung]

$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+xy+y^2=3y-1\\ x^3+x^2y=x^2-x+1\\
\end{array} \right
$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Giải hpt :
$\[\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{4x^2}{1 + 4x^2} = y \\
\dfrac{4y^2}{1 + 4y^2} = z \\
\dfrac{4z^2}{1 + 4z^2} = x
\end{array} \right.\] $

Ta thấy: $(x,y,z) = (0,0,0) $ là 1 nghiệm của hệ nên xét $x,y,z > 0 $:
Đặt $\frac{1}{2x}=\tan a,\frac{1}{2y}=\tan b,\frac{1}{2z}=\tan c $;với $a,b,c \in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right) $
Viết lại hệ rồi cộng 3 phương trình lại ta được:
$(\tan a-1)^{2}+(\tan b-1)^{2}+(\tan c-1)^{2}=0 $
Khi đó: $\tan a = \tan b = \tan c = 1 $ (thỏa)
$\Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{2} $
Vậy hệ có 2 nghiệm $(0,0,0) $ và $\left( \frac{1}{2}\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ttytty]

Nguyên văn bởi avip

Bài này hình như có nghiệm dạng lượng giác (Nếu đưa y về x thì hệ trên suy ra một PT bậc 9 theo x, PT này chỉ có một nghiệm và nghiệm xấu).

Bài này chuyển y theo x nhưng ko mũ lên thành bậc 9.
Hệ ban đầu tưong đương :
$ \begin{cases}y=x^3-6x^2+12x-7\\y^3=-x^3+9x^2-9x+9\end{cases} $.
Ta có $y^3+2y=(x-1)^3+2(x-1) $ (*)
Xét hàm $f(t)=t^3+2t $. Hàm này đồng biến trên R nên (*) có nghiệm duy nhất y=x-1. Thay vào pt 1 của hệ ta đc pt bậc 3 tổng quát của x. Bài toán đc giải quyết !!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[adaynotfar]

Nguyên văn bởi Mathpro123

Bài 35

$\left\{\begin{matrix}
x^{3}-3x^{2}+2x-5=y & & \\
y^{3}+3y^{2}+2y-5=z& & \\
z^{3}+3z^{2}+2z-3=x & &
\end{matrix}\right. $

Đặt $x-1=a,y+1=b,z+1=c $ đưa hệ về
$\begin{cases}a^3=a+b+1(1)\\b^3=b+c+1(2)\\c^3=c+a+1 (3)\end{cases} $
Nếu $a\ge b $, (1)và(2) $\Rightarrow a\ge c $
$a\ge c $, (1)và(3) $\Rightarrow b\ge c $
$b\ge c $, (2)và(3) $\Rightarrow b\ge a $
$\Rightarrow a=b $
$\Rightarrow a=b=c $
Nếu $a<b $ CM tương tự $\Rightarrow $ vô lý
Khi $a=b=c $ ta có $a^3=2a+4\Rightarrow a=2 $
Vậy $a=b=c=2 $ hay $x=3,y=z=1 $
Em thấy mấy bài giả pt phân tích đến mấy đa thức nhân với nhau liền,làm sao để phân tích được như thế, có thể chia sẻ kinh nghiệm cho em về phân tích như thế không
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phantiendat_hv]

Nguyên văn bởi haptrung

$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+xy+y^2=3y-1 (1) \\ x^3+x^2y=x^2-x+1 (2) \\
\end{array} \right
$

Lấy (1)-(2)

$\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+xy+y^2-x^3-x^2y-3y+x^2-x+2=0 \\ x^3+x^2y=x^2-x+1 \\
\end{array} \right
$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-x^3-x^2y+2x^2+y^2+xy-2y-x-y+2=0 \\ x^3+x^2y=x^2-x+1 \\ \end{array} \right $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -x^2(x+y-2)+y(x+y-2)-(x+y-2)=0 \\ x^3+x^2y=x^2-x+1 \\ \end{array} \right $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x+y-2)(y-x^2-1)=0 \\ x^3+x^2y=x^2-x+1 \\ \end{array} \right $ tới đây..............
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phantiendat_hv]

Bài tiếp:

$\left\{ \begin{array}{l}
(x^2+1)^2=2x-y+1 \\ x^2(2x-y)=x+1 \\
\end{array} \right $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ino_chan]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Giải hpt :
$\[\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{4x^2}{1 + 4x^2} = y \\
\dfrac{4y^2}{1 + 4y^2} = z \\
\dfrac{4z^2}{1 + 4z^2} = x
\end{array} \right.\] $

Ta thấy: $(x,y,z) = (0,0,0) $ là 1 nghiệm của hệ nên xét $x,y,z > 0 $:
Đặt $\frac{1}{2x}=\tan a,\frac{1}{2y}=\tan b,\frac{1}{2z}=\tan c $;với $a,b,c \in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right) $
Viết lại hệ rồi cộng 3 phương trình lại ta được:
$(\tan a-1)^{2}+(\tan b-1)^{2}+(\tan c-1)^{2}=0 $
Khi đó: $\tan a = \tan b = \tan c = 1 $ (thỏa)
$\Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{2} $
Vậy hệ có 2 nghiệm $(0,0,0) $ và $\left( \frac{1}{2}\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) $

Nếu ko dùng cách này thì có cách khác ko ạ
Giải theo kiểu THCS ý ??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Kiểu THCS là như thế nào vậy bạn?Có thể nói rõ được hơn không?Ở đây thay vì đặt $\tan a $,có thể để $\frac{1}{2x} $ làm thẳng cũng được,ý mình đặt để dễ nhìn hơn thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mathpro123]

Nguyên văn bởi Mathpro123

Bài 35

$\left\{\begin{matrix}
x^{3}-3x^{2}+2x-5=y & & \\
y^{3}+3y^{2}+2y-5=z& & \\
z^{3}+3z^{2}+2z-3=x & &
\end{matrix}\right. $

Mình làm thế này cũng đơn giản
Đặt $t=x-2 $ rồi thế vào phương trình đầu ta được hệ hoán vị vòng quanh đơn giản sau
$\left\{\begin{matrix}
t^{3}+3t^{2}+2t-5=y & & \\
y^{3}+3y^{2}+2y-5=z& & \\
z^{3}+3z^{2}+2z-5=t & &
\end{matrix}\right. $
Giải hệ trên ta được $y=z=t=1 $
Suy ra nghiệm của hệ là $x=3;y=z=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]