Topic Về Số Học

[n.v.thanh]

Bài này cũ+quen rồi:

Cho $n $ là số tự nhiên.Chứng minh rằng phương trình $x^2+xy+y^2=n $ có nghiệm hữu tỉ thì nó cũng có nghiệm nguyên.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magic.]

Nguyên văn bởi duycvp

2.Cho trước số nguyên dương m.Tìm tất cả bộ 3 nguyên dương $(n,x,y) $ sao cho:$ (m,n)=1 $ và $(x^2+y^2)^m=(xy)^n $

Ta có $x^2+y^2 \ge 2xy \Rightarrow n>m $
$\Rightarrow (\frac{x^2+y^2}{xy})^m=(xy)^{n-m} $$\Rightarrow x|y^2;y|x^2 $
Không mất tính tổng quát giả sử $x \ge y $
Xét $x>y $
Dễ thấy $x,y $ phải thỏa mãn:
$x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n} $ và $y=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_n^{b_n} $
Trong đó $a_i;b_i \in \mathbb{Z^+} $
Do $x>y $ nên tồn tại $i \in \{1,2,..,n \} $ sao cho $a_i > b_i $
Suy ra $v_{p_i}(VT)=2b_im = v_{p_i}(VP)=(a_i+b_i)n > 2b_in $
Từ đây suy ra $n < m $ vô lí.
Vậy $x=y $
Dễ CM: $x=y=2^k $
Từ đây biện luận $n $ theo $m $

Nguyên văn bởi n.v.thanh

Bài này cũ+quen rồi:

Cho $n $ là số tự nhiên.Chứng minh rằng phương trình $x^2+xy+y^2=n $ có nghiệm hữu tỉ thì nó cũng có nghiệm nguyên.

Anh Thanh có lời giải nào sơ cấp cho bài này không. Em biết một lời giải nhưng không hiểu nên ngại post

Nói chung là dài và hơi cao cấp. Phải biết về eliptical disc, định lí Mincopski

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

$4(x^2+y^2+xy)=(2x+y)^2+3y^2 $.
Xét phương trình : $a^2+3b^2=p $, trong đó $p $ là $1 $ số nguyên tố.
Phương trình này có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $p\equiv 1 $(mod $3 $).
Xét phương trình $a^2+3b^2=n $.
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi mọi ước nguyên tố dạng $3k+2 $ của $n $ có số mũ trong $n $ là số chẵn.
Trở lại bài toán.
Giả sử phương trình $x^2+xy+y^2=n $ có nghiệm hữu tỉ, khi đó với $k $ nguyên dương nào đó, phương trình $x^2+xy+y^2=nk^2 $ có nghiệm nguyên.
Từ nhận xét trên thì rõ ràng là phương trình $x^2+xy+y^2=n $ có nghiệm nguyên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Anh chemthan làm đúng rồi đấy.Số nguyên tố p biểu diễn được dưới dạng $x^2+xy+y^2 $ khi và chỉ khi $p=3 $ hoặc $p=3k+1 $.
Đây là bài tập về thặng dư bậc 2 thôi

,a chả biết cái gì gọi là Geometry of Number cả.

.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vmcuong]

* Cho $a,b\in \mathbb{Z}_{+} $. Chứng minh rằng: luôn $\exists n\in \mathbb{N}^{*} $ sao cho $a\mid b^{n}-n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[t.n.Hieu]

Nguyên văn bởi vmcuong

* Cho $a,b\in \mathbb{Z}_{+} $. Chứng minh rằng: luôn $\exists n\in \mathbb{N}^{*} $ sao cho $a\mid b^{n}-n $

Đây là USA Team Slection test 2007
Bạn xem ở đây nhá:[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phamtoan]

Tìm tất cả các $ x $ nguyên thỏa:
$ |x-3|+|x-10|+|x+101|+|x+990|+|x+1000| =2004 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[avip]

Một bài toán khá hay:

Bài toán: Cho hai số nguyên dương $a,b $ sao cho $(a,b) = 1 $. Tìm điều kiện cần và đủ của số nguyên dương $n $ để $(a^n-1,b) = 1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chemthan]

Nguyên văn bởi avip

Một bài toán khá hay:

Bài toán: Cho hai số nguyên dương $a,b $ sao cho $(a,b) = 1 $. Tìm điều kiện cần và đủ của số nguyên dương $n $ để $(a^n-1,b) = 1 $.

Gọi $p_1,p_2,....,p_k $ là tất cả các ước nguyên tố của $b $. Đặt $r_i=ord_{p_i}(a) $. Khi đó $(a^n-1,b)=1 $khi và chỉ khi $n $ không chia hết cho $r_i $ với mọi $i=1,2,...,k $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[avip]

Hai bài toán cũ:

Bài 1: Tìm tất cả số nguyên dương $n $ thỏa $2^n-1 \mid 3^n-1 $.
Bài 2: Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương $(x,y,z) $ thỏa $x^2+y^2+z^2 = 2xyz $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Bài 1

Hướng 1 : Sử dụng kiến thức trong topic thặng dư bậc 2

Hướng 2 : Xài bài toán khó hơn là $a^n-1|b^n-1 $ với mọi n thì $b=a^k $.Có thể tham khảo trong sách của HH Khoái hoặc đọc file đính kèm,lời giải trong đó khá hay đấy

Bài 2 Chắc là lùi vô hạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phamtoan]

Nguyên văn bởi n.v.thanh

Bài 1
Bài 2 Chắc là lùi vô hạn.

Bài 2 ta dùng PP lùi vô hạn, chứng minh $x,y,z $ đều chia hết cho $2 $, cứ như thế thì $(x,y,z)=(0,0,0) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Lâu lâu mình mới giải ra được một bài số học. Post lên cho mọi người tham khảo (vì cách mình dở ẹc ).

Bài toán. Tìm tất cả các số nguyên dương $a,\;b $ thỏa mãn $\frac{(a^2+1)^2}{ab-1} $ là một số nguyên.

(Mathematical Reflection)

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[FunFun]

Ủng hộ pác cho vui vậy .
-Viet có ra không nhỉ
-$a^2+b^2+5=3ab $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Haiz.Để mình làm rõ ý bạn Fun Fun cái $ab-1|b^2.(a^2+1)^2=(a(ab-1)+a+b)^2 $
Suy ra $ab-1|(a+b)^2 $.Dùng Vieta Jumping ta có $(a+b)^2=5.(ab-1) $ Suy ra $(a,b) $ sinh ra từ pt $a^2+b^2+5=3ab $.Mình quên giai tiếp sao rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]