|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
17-12-2013, 08:49 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2013 Bài gởi: 22 Thanks: 8 Thanked 2 Times in 2 Posts | Chứng minh f hàm hằng Cho hàm f xác định và liên tục trên R thỏa: f(x+f(x))=f(x) Chứng minh f là hàm hằng P/s: mọi người giúp em với |
18-12-2013, 02:00 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Bài gởi: 252 Thanks: 50 Thanked 164 Times in 114 Posts | Làm màu 1 lát. Xét hàm số $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ được xác định bởi công thức $g(x)=f(x)+x $. Theo giả thuyết, ta có: i) $g(x) $ liên tục ii) $g(g(x))=2g(x)-x $ Từ ii) , ta suy ra $g(x) $ đơn ánh. Kết hợp với i, dẫn tới $g(x) $ là hàm đơn điệu Trường hợp 1: $g(x) $ là hàm đơn điệu giảm. Suy ra $[ g(g(x))-g(x) ][ g(x)-x] \le 0 \forall x \in \mathbb{R} $. trong khi dó $g(g(x))-g(x)=g(x)-x $ nên dẫn tới $g(x)-x=0 \forall x \in \mathbb{R} $. Mâu thuẫn điều kiện $g(x) $ đơn điệu giảm. Trường hợp 2: $g(x) $ là hàm đơn điệu tăng. Theo quy nạp ta có : $g_n(x)=x+n(g(x)-x) =x+nf(x)\forall x \in \mathbb{R} $, trong đó $g_{n}(x) $ được xác định bởi công thức $g_0(x)=x;g_n(x)=g(g_{n-1}(x)) $ Nếu $x \le y \Rightarrow g_n(x) \le g_n(y) \Rightarrow x+nf(x) \le y+nf(y) \Rightarrow f(x) \le f(y) $ Vậy $f(x) $ cũng là hàm đơn điệu tăng. Ta có đẳng thức sau $f(x+nf(x))=f(x) \forall n \in \mathbb{N} $(*) Trường hợp 2.1: $f(x)= 0 \forall x \in \mathbb{R} $ , kết thúc bài toán. Trường hợp 2.2 : $\exist x_0: f(x_0)>0 $ Từ đây thấy rằng nếu $\exist x_1 : f(x_1) \ne f(x_0) $ thì do tính liên tục nên $\exist x_2 : f(x_2) \ne f(x_0) $ và $0<f(x_2) $ Sử dụng (*) và tính đơn điệu, ta suy ra ngay mâu thuẫn. Bởi thế $f(x) $ là hàm hằng Trường hợp 2.3 $\exist x_0 : f(x_0)<0 $ Giải tương tự trường hợp 2.2 P/s: Ký hiệu tồn tại , ko thấy được hiển thị ra nên ráng hiểu hén __________________ |
The Following 2 Users Say Thank You to Kelacloi For This Useful Post: | huynhcongbang (19-12-2013), knight123 (20-12-2013) |
19-12-2013, 06:50 AM | #3 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts | Bước 1: chứng minh rằng: $f(x + nf(x)) = f(x) $ với mọi $n\ge 1 $ theo quy nạp. Bước 2: giả sử ngược lại tồn tại $a $ và $b $ sao cho $f(a) = u \neq f(b) = v $. Chứng minh rằng với mọi $\epsilon > 0 $ tồn tại $n $ và $m $ sao cho $|a + nf(a) - (b+mf(b))| < \epsilon $. Chứng minh ko khó, chỉ vài dòng. Bước 3: Từ tính liên tục của $f $ thì với $\epsilon $ đủ nhỏ ta có $|f(a) - f(b)| = |f(a+nf(a)) - f(b+mf(b))| < |f(a) - f(b)| $ mâu thuẫn. __________________ Traum is giấc mơ. |
19-12-2013, 10:20 AM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2011 Bài gởi: 252 Thanks: 50 Thanked 164 Times in 114 Posts | Bước 2 có vấn đề nha huynh. Chỉ có hàm liên tục đều thì mới có cái tính chất : $\forall \delta >0 $ tồn tại $ \epsilon >0 : |f(x)-f(y)| \le \delta \forall (x,y) $ thỏa mãn $ |x-y| <\epsilon $ Mà điều kiện của bài chưa đủ để suy ra trực tiếp ra tính liên tục đều __________________ |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|