|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
04-04-2015, 02:26 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Bài gởi: 144 Thanks: 109 Thanked 130 Times in 66 Posts | Đề thi Olympic 30/4 lần thứ XXI năm 2015 (toán 11) Bài 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} (2x-1)\sqrt{x+y}=(6-x-y)\sqrt{2-x}\\ y+3+2\sqrt[3]{12x^2+3xy-18x}=(x-1)^3 \end{matrix}\right.$$ Bài 2 (4 điểm) Cho dãy $(u_n)$ như sau : $$u_{n}=\dfrac{e^{\frac{1}{n+1}}}{n+1}+\dfrac{e^{\ frac{1}{n+2}}}{n+2}+...+\dfrac{e^{\frac{1}{2n}}}{2 n}$$ Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_n$. Bài 3 (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $X$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$. Phân giác góc $BAC$ cắt đường tròn tâm $X$ bán kính $XB$ tại điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$. Tia $OM$ cắt $BC$ tại $P$. Gọi $E,F$ là hình chiếu của $M$ xuống $AC,AB$. Chứng minh rằng $PE,PF$ vuông góc nhau. Bài 4 (3 điểm) Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố. Đặt $x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a$. Gỉa sử rằng $x^2=y$ và hiệu $\sqrt{z}-\sqrt{y}$ là bình phương của một số nguyên tố. Tính giá trị biểu thức : $$T=(a+2)(b-10)(c+2)$$ Bài 5 (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số đơn ánh $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả : $$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left [ f^2(x)-f(x)f(y)+f^2(y) \right ],\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$ Bài 6 (3 điểm) Tại ba đỉnh $A,B,C$ của một tam giác $ABC$, người ta viết các số $a,b,c$ trong đó $a,b,c$ không đồng thời bằng nhau. Người ta thực hiện phép biến đổi sau : Nếu mỗi bộ trước là $(x,y,z)$ thì sau đó ta thay bởi bộ $(x+y-2z,y+z-2x,z+x-2y)$. Chứng minh rằng sau một số lần biến đổi sẽ tồn tại một bộ ba số mà ít nhất một trong ba số của nó không nhỏ hơn $2015$. thay đổi nội dung bởi: Juliel, 04-04-2015 lúc 06:44 PM |
The Following 6 Users Say Thank You to Juliel For This Useful Post: | dangvip123tb (04-04-2015), DenisO (07-04-2015), huy230499 (04-04-2015), khi gia (04-04-2015), quocbaoct10 (04-04-2015), thaygiaocht (04-04-2015) |
04-04-2015, 03:30 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2014 Đến từ: Khánh Hòa Bài gởi: 23 Thanks: 51 Thanked 3 Times in 3 Posts | Bài 1: Nhận thấy x=2 , y=-2 là nghiệm của hpt Đặt $\sqrt{x+y}=t$ Phương trình đầu viết lại : $(2x-1)t=(6-t^{2})\sqrt{2-x}$ $\Leftrightarrow t^{2}\sqrt{2-x}+t(2x-1)-6\sqrt{2-x}$ Ta có : $\Delta = (2x-7)^{2}$ Nên $t=\frac{1-2x+7-2x}{2\sqrt{2-x}}$ hoặc $t=\frac{-3}{2\sqrt{2-x}}$(vl) Nên $\sqrt{x+y}=2\sqrt{2-x} \Rightarrow y=8-5x$ Thay vào PT(2) rồi làm một hồi sẽ ra được pt : $(x-2)^{2}(x^{2}-x+6)^{3}+24x=0$ ( Tới đây bí ) thay đổi nội dung bởi: khanghaxuan, 04-04-2015 lúc 03:32 PM |
04-04-2015, 05:02 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2014 Bài gởi: 40 Thanks: 14 Thanked 10 Times in 6 Posts | Bài 5 (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số đơn ánh $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả : $$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left [ f^2(x)-f(x)f(y)+f^2(y) \right ],\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$ Giải: Cho \[x = y = 0\] suy ra \[f(0) = 0\].Cho \[y = 0\] suy ra \[f({x^3}) = x{f^2}(x);\forall x \in R\].Suy ra \[f({x^3}) + f({y^3}) = x{f^2}(x) + {\rm{y}}{{\rm{f}}^2}(y)\] \[ \Leftrightarrow (x + y)\left[ {{f^2}(x) - f(x)f(y) + {f^2}(y)} \right] = x{f^2}(x) + y{f^2}(y)\] \[ \Leftrightarrow - (x + y)f(x)f(y) + x{f^2}(y) + y{f^2}(x) = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ {f(y) - f(x)} \right]\left[ {xf(y) - yf(x)} \right] = 0\] Do f đơn ánh suy ra \[\frac{{f(x)}}{x} = \frac{{f(y)}}{y};\forall x,y \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\] Suy ra \[\frac{{f(x)}}{x} = C\] hay \[f(x) = Cx\] Trong đó \[C\] là hằng số Mà \[f(0) = 0\]. Suy ra \[f(x) = Cx;\forall x \in R\]. Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hàm số cần tìm là \[f(x) = Cx;\forall x \in R\] |
The Following 2 Users Say Thank You to buigiahuy0 For This Useful Post: | dangvip123tb (04-04-2015), khi gia (04-04-2015) |
04-04-2015, 05:29 PM | #4 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa Bài gởi: 539 Thanks: 292 Thanked 365 Times in 217 Posts | Đề câu 6 không chặt chẽ, nếu đúng phải là: 3 số a,b,c không đồng thời bằng nhau. Ta có thể dùng đơn biến: $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2$. Sau mỗi lần đổi, ta được : $f(x_1+x_2-2x_3,x_2+x_3-2x_1,x_3+x_1-2x_2)=9(x_1-x_2)^2+9(x_2-x_3)^2+9(x_3-x_1)^2 > f(x_1,x_2,x_3)$. Từ đấy suy ra $f(x_1,x_2,x_3)$ luôn tăng và tăng đến vô hạn nên các 1 trong 3 giá trị $(a,b,c)$ cũng bắt buộc phải tăng theo và tăng vô hạn nên sẽ có ít nhât 1 trong 3 số không nhỏ hơn 2015. __________________ i'll try my best. |
The Following 3 Users Say Thank You to quocbaoct10 For This Useful Post: |
04-04-2015, 06:43 PM | #5 | ||
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Bài gởi: 144 Thanks: 109 Thanked 130 Times in 66 Posts | Trích:
------------------------------ Trích:
$$2\sqrt[3]{-3x^2+6x}=x^3-3x^2+14x-12$$ Đặt $\sqrt[3]{-3x^2+6x}=t$ thì : $$\left\{\begin{matrix} t^3=-3x^2+6x\\ 2t=x^3-3x^2+8x-12 \end{matrix}\right.$$ Suy ra : $$t^3+2t=(-3x^2+6x)+(x^3-3x^2+8x-12)=(x-2)^3+2(x-2)$$ Suy ra $t=x-2$ thay đổi nội dung bởi: Juliel, 04-04-2015 lúc 06:51 PM Lý do: Tự động gộp bài | ||
The Following 5 Users Say Thank You to Juliel For This Useful Post: | buigiahuy0 (04-04-2015), dangvip123tb (04-04-2015), DenisO (07-04-2015), khanghaxuan (05-04-2015), thaygiaocht (04-04-2015) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|