Đa thức nhân tử hóa, Nhóm và vành.

[psquang_pbc]

Có người nhờ em hỏi hộ mấy cái này, các thầy, các anh giải hộ em. Nếu chi tiết thì càng tốt ạ. Về tiêu đề thì em kô biết rõ nên chỉ viết cái mục chính thôi, mọi người thông cảm cho em.

1. Xét vành $K[x] $ với $K $ là một trường.

a. Chứng minh rằng mọi đa thức bậc nhất của $K[x] $ đều là bất khả quy. Nếu $K $ là một miền nguyên thì điều đó còn đúng kô?

b. Chứng minh rằng các đa thức bậc 2 và bậc 3 của $K[x] $ là bất khả quy khi và chỉ khi chúng kô có nghiệm trong $K $.

2. Giả sử $A\supset B\supset C $ là những nhóm con chuẩn tắc của nhóm nhân $X $.

a. Chứng minh rằng $B/C $ là một nhóm con chuẩn tắc của $A/C $.

b. Chứng minh

$f:A/C\longrightarrow A/B $

$aC\mapsto f(aC)=aB $

là một toàn cấu nhóm.

c. Suy ra đẳng cấu

$(A/C)(B/C)\simeq A/B $

3. Tìm tất cả các nhóm con của tích 2 nhóm $Z_3\times Z_4 $. Vẽ sơ đồ bao hàm.

4. a. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đồng cấu vành unita từ $A_{40}\longrightarrow Z_4 $.

b. Lập đẳng cấu nhóm $Z_{35}\simeq Z_5\times Z_7 $.

5. Chứng minh rằng tập tất cả các ma trận vuông cấp $n, n>1 $ với phần tử thực và mọi phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 là một vành con của $M_n(\mathbb{R}}) $. Nó có phải là iđêan phải của $M_n(\mathbb{R}}) $ hay không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Nguyên văn bởi psquang_pbc

5. Chứng minh rằng tập tất cả các ma trận vuông cấp $n, n>1 $ với phần tử thực và mọi phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 là một vành con của $M_n(\mathbb{R}}) $. Nó có phải là iđêan phải của $M_n(\mathbb{R}}) $ hay không?

Nó là vành thì hiển nhiên rồi, không phải idean vì chỉ cần cho B thích hợp sẽ có BA có phần tử ngoài đường chéo khác không. (Chắc thế! )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[becu]

hello Tuan,
gặp Tuân ở blog bây giờ vô tình phát hiện ra cái web này.

mấy bài này hay đó, đúng chủ đề tui đang học bây giờ nè
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trangchodom]

1.a Nếu $ax-b $là đa thức bậc nhất trên $k[x] $ thì nó có nghiệm là $x=ba^-1 $. Do tính chất vành đa thức trên trường số

$ax-b=(x-a^-1b)h(x) $

cân bằng bậc hai vế ta có $h(x) $ là đa thức hằng, i.e $ax-b $ là đa thức bất khả quy.
Dĩ nhiên tính chất trên vẫn đúng cho miền nguyên. Nhưng nếu k không là miền nguyên thì tính chất trên không đúng.
1.b Trường hợp này nó đúng cho cả n bất kỳ lớn hơn 1. Thật vậy, giả sử $k[x]\in f(x) $, khi đó $a $ là 1 nghiệm của $f(x) $ khi và chỉ khi

$f(x)=(x-a)h(x) $

ở đây $k[x]\in h(x) $ có bậc lớn hơn 0. Vậy $f(x) $ khả quy khi và chỉ khi nó có nghiệm. Nghĩa là, nó bất khả quy khi và chỉ khi nó không có nghiệm.
2.a ta có $A\subset N_G (A) = X $, suy ra a là nhóm con chuẩn tắc của b. Vậy A/C chuẩn tắc trong B/C.
2.b Nếu ánh xạ xác định thì hiễn nhiên nó là toàn cấu. Bài toán chỉ cần đi chứng minh ánh xạ xác định. Thật vậy, nếu
$xA=yA $ thì $A\in xy^-1 $. Do đó$B=f(A)=f(xy^-1 A)=xy^-1 B $, suy ra $xB =yB $. Vậy ánh xạ đựoc xác định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Nguyên văn bởi trangchodom

1.b Trường hợp này nó đúng cho cả n bất kỳ lớn hơn 1. Thật vậy, giả sử $k[x]\in f(x) $, khi đó $a $ là 1 nghiệm của $f(x) $ khi và chỉ khi

$f(x)=(x-a)h(x) $

ở đây $k[x]\in h(x) $ có bậc lớn hơn 0. Vậy $f(x) $ khả quy khi và chỉ khi nó có nghiệm. Nghĩa là, nó bất khả quy khi và chỉ khi nó không có nghiệm.

Lý luận này sai rồi. Đa thức $(x^2+1)(x^2+2) $ trên R[x] nhưng không có nghiệm trong R.

Phải lý luận thế này: Nếu đa thức P(x) bậc 2, 3 khả quy thì nó sẽ có ít nhất một hạng tử bậc nhất, tức là hạng tử có dạng ax + b. Vì K là trường nên x = -b/a là nghiệm của đa thức. Ngược lại nếu có a là nghiệm thì P(x) = (x-a)H(x) như bạn nói.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pham ngoc hieu]

cho degP = n, va P(k) = 2^k, tinh P(n + 1)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hizo[+_0]]

Tổng hợp các bài tích phân từ các đề thi đại học, cao đẳng các năm:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]