Bài tập lý thuyết môdun

[dinhcu_pro]

Bài 1. Cho M là một R-môđun. Đặt ann(M)={r$\in $R|rx=0,$\forall $x$\in $M}
a) Chứng minh rằng ann(M) là một iđêan của R
b)M là một R/ann(M)-môđun
Bài 2. Chứng minh Z-môđun Q không là môđun hữư hạn sinh
Bài 3. Hãy chỉ ra một ví dụ chứng tỏ môđun con của một môđun hữư hạn sinh có thể không phải là môđun hữu hạn sinh
Bài 4. Cho M là một R-môđun và S là một hệ sinh khác rỗng của M. Chứng minh rằng S là một cơ sở của M khi và chỉ khi sự biễu diễn tuyến tính của mỗi phần tử $x\M $ theo các phần tủe của S là duy nhất
Bài 5. Chứng minh rằng R-môđun M là đơn khi và chỉ khi $M\ne 0 $ và với mọi x thuộc M, $x\ne 0 $ ta có Rx=M
Bài 6. Cho N là môđun con của R-môđun M
a)Chứng minh rằng nếu M là moođun hữu hạn sinh thì môđun thương M/N cũng là môđun hữu hạn sinh
b)Nếu N và M/N là các môđun hữu hạn sinh thì M là môđun hữu hạn sịnh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[congbang_dhsp]

2) Ta sẽ chứng minh Z-modunQ có số chiều là vô cực
Thật vậy giả sử nó có số chiều là n, xét một cơ sở của nó
$\frac{m_{1}}{n_{1}},\frac{m_{2}}{n_{2}},...,\frac{ m_{n}}{n_{n}} $
thì số $\frac{1}{n_{1}.n_{2}...n_{n}-1} $ không thể biểu diễn qua cơ sở đó
Vậy dim(Z-Q)= $\infty $
Vậy Z-Q không là không gian vec tơ hữu hạn sinh
------------------------------
3)Ví dụ như ta xét R-không gian vec tơ R là một không gian hữu hạn sinh nhưng Q-không gian vecto R lại không hữu hạn sinh.
4)Sự biểu thị duy nhất đó tương đương với sự độc lập tuyến tính. Ta có điều phải chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]