Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 23-09-2010, 01:15 AM   #1
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Ma trận chuẩn tắc

Bài tập này rất là hay, 99 lấy từ trường thu Việt Đức, đang tổ chức ở viện Toán.

Đề bài : Giả sử $A $ là ma trận vuông phức cấp $n $, [Only registered and activated users can see links. ] (nghĩa là $AA^*=A^*A $). Giả sử U là ma trận unita cấp n thỏa mãn

$U^{-1}AU =\left(\begin{matrix}B_{11}&B_{12}\\0&B_{22}\end{m atrix}\right) $ trong đó $B_{11} $ là ma trận vuông cấp k, các ma trận còn lại có cấp tương ứng.

Chứng minh rằng $B_{12}=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-09-2010, 03:11 PM   #2
123456
+Thành Viên+
 
123456's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: Ha Noi
Bài gởi: 709
Thanks: 13
Thanked 613 Times in 409 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 99 View Post
Bài tập này rất là hay, 99 lấy từ trường thu Việt Đức, đang tổ chức ở viện Toán.

Đề bài : Giả sử $A $ là ma trận vuông phức cấp $n $, [Only registered and activated users can see links. ] (nghĩa là $AA^*=A^*A $). Giả sử U là ma trận unita cấp n thỏa mãn

$U^{-1}AU =\left(\begin{matrix}B_{11}&B_{12}\\0&B_{22}\end{m atrix}\right) $ trong đó $B_{11} $ là ma trận vuông cấp k, các ma trận còn lại có cấp tương ứng.

Chứng minh rằng $B_{12}=0 $
Đặt
$B=\left(\begin{matrix}B_{11}&B_{12}\\0&B_{22}\end{ matrix}\right) $
do A chuẩn tắc, nên B cũng chuẩn tắc tức là $B^{*}B=BB^{*} $
thực hiện phép nhân ma trận, ta có $B_{11}B_{11}^{*}+B_{12}B_{12}^{*}=B_{11}^{*}B_{11} $
lấy vết hai vế ta có
$Tr(B_{12}B_{12}^{*})=0 $ do đó $B_{12}=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
123456 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post:
99 (23-09-2010)
Old 23-09-2010, 05:29 PM   #3
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 123456 View Post
...

ta có $B_{11}B_{11}^{*}+B_{12}B_{12}^{*}=B_{11}^{*}B_{11} $
lấy vết hai vế ta có
$Tr(B_{12}B_{12}^{*})=0 $ do đó $B_{12}=0 $
Anh giải thích rõ hơn được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-09-2010, 06:00 PM   #4
123456
+Thành Viên+
 
123456's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: Ha Noi
Bài gởi: 709
Thanks: 13
Thanked 613 Times in 409 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 99 View Post
Anh giải thích rõ hơn được không?
$Tr(AB)=Tr(BA) $
và nếu $A=(a_{ij}) $ là ma trận cấp $m\times n $ thì $Tr(AA^{*})=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
123456 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post:
99 (23-09-2010)
Old 23-09-2010, 06:18 PM   #5
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 123456 View Post
$Tr(AB)=Tr(BA) $
và nếu $A=(a_{ij}) $ là ma trận cấp $m\times n $ thì $Tr(AA^{*})=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 $
Ừm, cách chứng minh của anh rất gọn và hay , em có giải bài này nhưng dài, em dùng phân tích Schur để chứng minh ma trận chuẩn tắc có thể chéo hóa bằng ma trận unita.

Em muốn anh nói rõ hơn vì em nghĩ không phải ai cũng hiểu rõ mấy cái trên.

Ở đây em có một nhận xét nhỏ là

$||B_{12}||_2\leq \sqrt{Trace(B_{12}B_{12}^*)} = 0 $ do $||B_{12}||_2 $ = căn bậc hai của giá trị riêng lớn nhất của $B_{12}B_{12}^* $ (2-chuẩn còn đc gọi là chuẩn phổ/spectral norm of a matrix)

PS : Em vừa add FB của anh đó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-09-2010, 01:12 AM   #6
evarist
+Thành Viên+
 
evarist's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 86
Thanks: 11
Thanked 12 Times in 8 Posts
Trên Viện Toán có trường thu à anh 99 ? Em thấy bên Vật lý có giới thiệu về trường Việt Đức gì đó của họ trên Viện Lý(cũng ở Viện KHCN) hay sao ấy mà ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

Mình nhận dạy đại số tuyến tính, đại số đại cương, lý thuyết Galois, lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn. Bạn nào quan tâm thì pm yahoo duykhanhhus nhé.
Blog của mình: math-donquixote.org
evarist is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-09-2010, 02:09 AM   #7
99
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 2,995
Thanks: 537
Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts
Anh không biết, anh chỉ biết là ở viện Toán đang có trường thu về Numerical Linear Algebra và Control Theory do hai giáo sư người Đức giảng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
99 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
2-norm, chuẩn phổ, frobenius norm, ma trận chuẩn tắc, ma trận unita, normal matrix, spectral norm, trace, vết

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:22 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 62.69 k/70.92 k (11.61%)]