Một bài tập về tự đồng cấu

[chuongdktd]

Cho $f $ là một tự đồng cấu của không gian véc tơ $E $.
Chứng minh rằng : $\dim(\ker(f^{2})) \leq 2\dim(\ker(f)) $.
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Bổ sung thêm không gian vector $\bf{E} $ là hữu hạn chiều.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[peterpans01]

Nguyên văn bởi chuongdktd

Cho $f $ là một tự đồng cấu của không gian véc tơ $E $.
Chứng minh rằng : $\dim(\ker(f^{2})) \leq 2\dim(\ker(f)) $.
Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Bài này bạn xét không gian : $\ker(f^{2})-\ker(f) $ chỉ ra nó là không gian con của $\ker(f) $ là ok!

PS: cách gõ Latex ở đâu nhỉ? sợ anh batigoal ban mất!!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Nếu không có $\text{dim}\bf{E}< +\infty $ thì bạn chỉ ra điều trên như thế nào?
Mình nghĩ ý bạn muốn nói tới là:

$\text{ker}(f^2) \setminus \text{ker}(f) $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mít đặc]

Đặt $n = dimE, r(f) $ là hạng của $f $. Khi đó
$\dim(\ker(f^{2})) \leq 2\dim(\ker(f)) $
$<=> n - r(f^{2}) \leq 2[n - r(f)] $
$<=> r(f) - r(f^{2}) \leq n - r(f) $
Vế phải BĐT là số chiều của kerf, vế trái cũng là số chiều của kerf nhưng hạn chế trên Im(f). Do đó BĐT đúng hiển nhiên. Dấu bằng xảy ra khi $kerf $ nằm trong $Im(f) $, chẳng hạn khi f là đơn cấu.

PS: Tôi đang cần một số bài tập đstt ở mức độ vừa phải như bài này. Ai có thì cứ post lên nhé. Tks!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Nguyên văn bởi Mít đặc

....

PS: Tôi đang cần một số bài tập đstt ở mức độ vừa phải như bài này. Ai có thì cứ post lên nhé. Tks!

Có đây, mình sẽ đánh số theo thứ tự!

Bài 1:
Cho $\bf{E},\bf{F} $ là $\bf{K} $ không gian vector hữu hạn chiều và $f $: $\bf{E} \to \bf{F} $ là ánh xạ tuyến tính.

Chứng minh rằng:
1/ Nếu $f $ toàn ánh thì tồn tại ánh xạ tuyến tính $g $: $\bf{F} \to \bf{E} $ sao cho $f \circ g $ là ánh xạ đồng nhất của $\bf{F}; $

2/ Cho ví dụ chứng tỏ ánh xạ $g $ (trong câu trên) là không duy nhất.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chuongdktd]

Nguyên văn bởi tuan119

Bổ sung thêm không gian vector $\bf{E} $ là hữu hạn chiều.

Tại sao lại phải hữu hạn chiều ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Nếu không hữu hạn chiều thì bạn chứng minh bất đẳng thức trên như thế nào?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chuongdktd]

Nguyên văn bởi tuan119

Nếu không hữu hạn chiều thì bạn chứng minh bất đẳng thức trên như thế nào?

Em sẽ nghiên cứu vấn đề đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Cho $n \to \infty $ thì bất đẳng trên so sánh với nhau sao được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[chuongdktd]

Nguyên văn bởi tuan119

Cho $n \to \infty $ thì bất đẳng trên so sánh với nhau sao được.

Có khi nào E là vô hạn chiều nhưng $ker(f) $ là hữu hạn không ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mít đặc]

Nguyên văn bởi tuan119

Có đây, mình sẽ đánh số theo thứ tự!

Bài 1:
Cho $\bf{E},\bf{F} $ là $\bf{K} $ không gian vector hữu hạn chiều và $f $: $\bf{E} \to \bf{F} $ là ánh xạ tuyến tính.

Chứng minh rằng:
1/ Nếu $f $ toàn ánh thì tồn tại ánh xạ tuyến tính $g $: $\bf{F} \to \bf{E} $ sao cho $f \circ g $ là ánh xạ đồng nhất của $\bf{F}; $

2/ Cho ví dụ chứng tỏ ánh xạ $g $ (trong câu trên) là không duy nhất.

Đầu tiên là cảm ơn bạn đã (tôi chưa có nút thanks).
Câu (2) của bạn thì đơn giản rồi, xét chẳng hạn phép chiếu từ mặt phẳng xuống $Ox $, nó có vô số nghịch đảo phải kiểu $(x, 0) -> (x, ax) $.
Câu (1) của bạn ta có thể xây dựng tường minh nghịch đảo phải dựa vào tiên đề chọn như sau:
Lấy bất kì $y_1\in Y $ và $x_1 \in f^{-1}(y_1) $ rồi đặt $g(y_1) = x_1 $, sau đó mở rộng g lên $L(y_1) $. Tiếp theo lấy $y_2 \in Y - L(y_1) $ (phép trừ tập hợp) và lặp lại như trước ta có ánh xạ g từ $L(y_1) \cup L(y_2) $. Lặp lại $n -2 $ lần nữa ($n := dimY $) ta thu được ánh xạ g từ hợp của n không gian con sinh bởi $y_1, ..., y_n $, tuyến tính trên từng không gian con. Mở rộng tuyến tính g lên $Y = L(y_1) \oplus ... \oplus L(y_n) $ ta được ánh xạ cần tìm.

Câu hỏi là nếu không giả thiết dimY hữu hạn thì bài toán có còn đúng không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[yeuthuong08]

Nguyên văn bởi chuongdktd

Có khi nào E là vô hạn chiều nhưng $ker(f) $ là hữu hạn không ạ?

Bạn thử nghĩ đến các đơn cấu tuyến tính xem sao.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[yeuthuong08]

Nguyên văn bởi Mít đặc

Đặt $n = dimE, r(f) $ là hạng của $f $. Khi đó
$\dim(\ker(f^{2})) \leq 2\dim(\ker(f)) $
$<=> n - r(f^{2}) \leq 2[n - r(f)] $
$<=> r(f) - r(f^{2}) \leq n - r(f) $
Vế phải BĐT là số chiều của kerf, vế trái cũng là số chiều của kerf nhưng hạn chế trên Im(f). Do đó BĐT đúng hiển nhiên. Dấu bằng xảy ra khi $kerf $ nằm trong $Im(f) $, chẳng hạn khi f là đơn cấu.

PS: Tôi đang cần một số bài tập đstt ở mức độ vừa phải như bài này. Ai có thì cứ post lên nhé. Tks!

Bạn có thể tham khảo những bài tập trong cuốn sách này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi chuongdktd

Cho $f $ là một tự đồng cấu của không gian véc tơ $E $.
Chứng minh rằng : $\dim(\ker(f^{2})) \leq 2\dim(\ker(f)) $.
Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Nhận xét rằng hai vế của bất đẳng thức không phụ thuộc vào số chiều của không gian, nên số chiều của không gian ở đây không quan trọng, vấn đề là phải tìm ra chứng minh tránh áp dụng trực tiếp công thức liên quan số chiều:

Nếu số chiều $ker(f) $ là vô cùng thì không có gì chứng minh.
Xét $\dim(\ker(f)) < \infty $. khi đó f sinh ra một đẳng cấu $f_1: E/\ker(f)\to f(E) $. Chứng minh rằng
$f_1(\ker(f^2)/\ker(f))=f(E)\cap\ker(f) $

Từ đây suy ra $\dim(\ker(f^2)) < \infty $ và
$\dim(\ker(f^2))=\dim(\ker(f))+\dim(f(E)\cap\ker(f) ) \leq 2\dim(\ker(f)) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]