|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
15-11-2012, 02:45 PM | #31 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp Bài gởi: 373 Thanks: 174 Thanked 92 Times in 69 Posts | Trích:
$b+c=-a $ mà $bc=\frac{(b+c)^2-(b^2+c^2)}{2}=a^2-\frac{1}{2}$ Ta lại có: $(b+c)^2 \geq 4bc$ suy ra $a^2 \geq 4a^2 -2 \Rightarrow a^2 \leq \frac{2}{3}$ Từ đó ta có: $a^2b^2c^2 = a^2(a^2-\frac{1}{2})^2 = a^6-a^4+\frac{a^2}{4}$ Ta quy về việc tìm GTLN của hàm $f(t)=t^3-t^2+\frac{t^2}{4}$ với $0 \leq t \leq \frac{2}{3}$. Lập bảng biến thiên rồi suy ra dpcm. __________________ | |
The Following 4 Users Say Thank You to nguoibimat For This Useful Post: |
15-11-2012, 04:16 PM | #32 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Trích:
$z=\dfrac{2x+4y}{2xy-7}$ suy ra $P = x + y + \dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}}$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: $$ P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \left( {y - \dfrac{7}{{2x}}} \right) + \left( {\dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}} - \dfrac{2}{x}} \right) $$ $$ \Leftrightarrow P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2xy - 7}}{{2x}} + \dfrac{{2{x^2} + 7}}{{2xy - 7}} $$ $$ \Leftrightarrow P \geqslant x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2\sqrt {{x^2} + 7} }}{x} $$ Xét hàm số theo biến $x$ và lấy đạo hàm ta sẽ có được $f'(x) = 1 - \frac{{11}}{{2x^2 }} - \frac{{14}}{{x^3 \sqrt {1 + \frac{7}{{x^2 }}} }} $ Dễ thấy rằng $f'(x )$tăng khi $x>0$, và $f'(3)=0$ suy ra $ {P_{\min }} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow x = 3,y = \dfrac{5}{2},z = 2 $ @ xiloxila bài $11$ max chính là $1$ đó bạn mình giải rõ lắm mà. __________________ thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 15-11-2012 lúc 07:12 PM | |
The Following 6 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: | alentist (17-11-2012), congvan (16-11-2012), nanonanato (17-11-2012), nguoibimat (15-11-2012), nliem1995 (15-11-2012), trungthu10t (15-11-2012) |
15-11-2012, 05:30 PM | #33 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Cao Lãnh Bài gởi: 149 Thanks: 58 Thanked 76 Times in 36 Posts | __________________ Học,học nữa,học mãi.....mà cũng không tới đâu |
The Following 2 Users Say Thank You to trungthu10t For This Useful Post: | NguyenThanhThi (15-11-2012), taitueltv (17-09-2014) |
15-11-2012, 06:21 PM | #34 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Lỗ đen của vũ trụ Bài gởi: 52 Thanks: 19 Thanked 9 Times in 8 Posts | Trích:
Từ đó ta có: $x+y+z=x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7} $$=\frac{1}{2y}(2xy-7+7)+y+ $$\frac{\frac{1}{y}(2xy-7+7)+4y}{2xy-7}= $$\frac{9}{2y}+y+\frac{1}{2y}(2xy-7)+\frac{\frac{7}{y}+4y}{2xy-7} $$\geq y+\frac{9}{2y}+2\sqrt{\frac{\frac{7}{y}+4y}{2y} $$=y+\frac{9}{2y}+2\sqrt{\frac{7}{2y^2}+2}=g(y) $ Khảo sát $g(y)$, $g'(y)=1-\frac{9}{2y^2} $$-\frac{28y}{y^3\left \sqrt{( \frac{7}{2y^2}+2 \right )}} $ Cũng dễ thấy $g'(y)$ tăng với $x>0$ và $g(y)\geq g(\frac{5}{2})=\frac{15}{2}$ Đẳng thức xảy ra $x=3$, $y=\frac{5}{2}$ và $z=2$ __________________ | |
The Following 2 Users Say Thank You to xiloxila For This Useful Post: | congvan (16-11-2012), NguyenThanhThi (15-11-2012) |
15-11-2012, 07:17 PM | #35 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Bài 14:Các bạn thử giải nhé Cho $a,\,b,\,c \in \left[\frac{1}{2},\, 2\right].$ Chứng minh rằng $$(a+b+c)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \le \frac{27}{2}.$$ @Anh Phúc: __________________ thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 15-11-2012 lúc 07:19 PM |
16-11-2012, 08:26 PM | #36 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 41 Thanks: 79 Thanked 8 Times in 5 Posts | Giải bài 14 Đây là lời giải của anh Võ Quốc Bá Cẩn mình vừa tìm thấy nhưng không giải bằng hàm.Không biết có cách nào giải bài này bằng hàm không? |
The Following 3 Users Say Thank You to hotraitim For This Useful Post: |
16-11-2012, 11:50 PM | #37 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2012 Bài gởi: 10 Thanks: 3 Thanked 29 Times in 8 Posts | Trích:
Đặt $F(a)=(a+b+c)( \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$ Ta có $F'(a)=(b+c)( \dfrac{a^2-bc}{a^2bc}), F'(a)=0 \Rightarrow a=- \sqrt{bc}, a= \sqrt{bc}$ Lập bảng biến thiên ta có $MaxF(a)=Max[F( \dfrac{1}{2});F(2)]$. Đặt $G(b)=F( \dfrac{1}{2})=( \dfrac{1}{2}+b+c)(2+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$ $G'(b)=(2c+1)( \dfrac{2b^2-c}{2b^2c}),G'(b)=0 \Rightarrow b=- \sqrt{ \dfrac{c}{2}}, b= \sqrt{ \dfrac{c}{2}}$ Lập bảng biến thiên ta có $MaxG(b)= Max[G( \dfrac{1}{2});G(2)]$ Đặt $G_1(c)=G( \dfrac{1}{2})=4c+5+ \dfrac{1}{c} \le \dfrac{27}{2} \Rightarrow MaxG_1(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c=2,b= \dfrac{1}{2}, a= \dfrac{1}{2}$ Đặt $G_2(c)=G(2)= \dfrac{5}{2}c+ \dfrac{29}{4}+ \dfrac{5}{2c} \le \dfrac{27}{2} \Rightarrow MaxG_2(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c= \dfrac{1}{2}, b=2, a= \dfrac{1}{2}$ hoặc $c=2,b=2,a= \dfrac{1}{2}$ Đặt $H(b)= F(2)=(2+b+c)( \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$ $H'(b)=(2+c)( \dfrac{b^2-2c}{2b^2c}), H'(b)=0 \Rightarrow b=- \sqrt{2c},b= \sqrt{2c}$ Lập bảng biến thiên ta có $MaxH(b)=Max[H( \dfrac{1}{2});H(2)]$ Đặt $H_1(c)=H( \dfrac{1}{2})= \dfrac{5c}{2}+ \dfrac{29}{4}+ \dfrac{5}{2c} \le \dfrac{27}{2} \Rightarrow MaxH_1(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c=2,b= \dfrac{1}{2},a=2$ hoặc $c= \dfrac{1}{2},b= \dfrac{1}{2},a=2$ Đặt $H_2(c)=H(2)=c+5+ \dfrac{4}{c} \le \dfrac{27}{2}$ $MaxH_2(c)= \dfrac{27}{2}$ khi $c= \dfrac{1}{2},b=2,a=2$ Vậy $MaxF= \dfrac{27}{2}$ khi bộ $(a;b;c)$ là $( \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2};2);(2;2; \dfrac{1}{2})$ và các hoán vị. thay đổi nội dung bởi: khanhphuong28, 17-11-2012 lúc 12:07 AM | |
The Following 5 Users Say Thank You to khanhphuong28 For This Useful Post: | alentist (17-11-2012), congvan (22-11-2012), dangnamneu (22-04-2014), nanonanato (17-11-2012), NguyenThanhThi (17-11-2012) |
17-11-2012, 08:31 PM | #38 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2012 Bài gởi: 40 Thanks: 23 Thanked 1 Time in 1 Post | Bài 15:Cho $x,y,z\in [1;3]$ và thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=14$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)$$ |
18-11-2012, 08:26 PM | #39 | ||||
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Trích:
Thứ hai mình xin được phép post lời giải của anh Võ Quốc Bá Cẩn và cái video của anh ấy mà lúc trước mình đã từng xem qua bên diễn đàn toanphothong.vn Nội dung giải bài này như sau: Ta sẽ chứng minh $ P \ge -8$ với dấu bằng xảy ra khi $x=1,\,y=3,\, z=2.$ Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với $$\left(\frac{y}{x} -1\right) \left(\frac{z}{x}+2 \right) \le 8,$$ hay $$2 \left(\frac{y}{x}-1\right) \cdot \left(\frac{z}{x}+2\right) \le 16.$$ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$2 \left(\frac{y}{x}-1\right) \cdot \left(\frac{z}{x}+2\right) \le \left[\frac{ 2 \left(\frac{y}{x}-1\right) + \left(\frac{z}{x}+2\right)}{2}\right]^2 = \left(\frac{\frac{2y}{x} +\frac{z}{x} }{2}\right)^2.$$ Do đó, bài toán được đưa về chứng minh $$\left(\frac{\frac{2y}{x} +\frac{z}{x} }{2}\right)^2 \le 16.$$ Bất đẳng thức này có thể được viết lại thành $$\frac{2y}{x}+\frac{z}{x} \le 8,$$ hay tương đương $$2y+z \le 8x.$$ Tới đây, sử dụng bất đẳng thức AM-GM thêm một lần nữa, ta có $$2y+z \le 2\cdot \frac{y^2+9}{6}+\frac{z^2+4}{4} =\frac{4y^2+3z^2+48}{12} =\frac{y^2+3(y^2+z^2)+48}{12} \le \frac{9+3(14-x^2)+48}{12} =\frac{33-x^2}{4}.$$ Và ta đi đến việc chứng minh bất đẳng thức cuối cùng là $$33-x^2 \le 32x,$$ tức $$(x-1)(x+33) \ge 0.$$ Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $x \ge 1.$ Vậy ta có $\min P =-8.$ $\blacksquare$ Rõ ràng sau khi nghe phân tích hướng giải thì bài toán này hoàn toàn tự nhiên. Video phân tích ý tưởng cho lời giải:
__________________ thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 18-11-2012 lúc 08:43 PM | ||||
The Following 3 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: |
20-11-2012, 10:11 PM | #40 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Bài 16: Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thoả $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $a^2b+b^2c+c^2a \leq \frac{4}{27}$ Đây là bài toán giải được bằng hàm, ngắn hơn hay hơn và tự nhiên hơn rất nhiều so với các cách giải khác __________________ thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 20-11-2012 lúc 10:48 PM Lý do: Đã fix |
20-11-2012, 10:46 PM | #41 |
+Thành Viên+ | $c^2a$ hay $c^a$ vậy bn? __________________ TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC A1K39 XIN LỖI ĐÃ THẤT HỨA NHÉ |
The Following User Says Thank You to tranghieu95 For This Useful Post: | NguyenThanhThi (20-11-2012) |
27-11-2012, 12:24 PM | #42 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp Bài gởi: 373 Thanks: 174 Thanked 92 Times in 69 Posts | Trích:
$a^2b+b^2c+c^2a \leq \frac{4}{27}$ \Leftrightarrow $a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq 0$ Vì $0\leq a\leq \frac{1}{3} \Rightarrow a^2 \leq \frac{a}{3}\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq \frac{ab}{3}+b^2c+c^2a -\frac{4}{27}=(\frac{b}{3}+c^2)a+b^2c-\frac{4}{27}=f(a)$ Tới đây ta đi chứng mình $f(a) \leq 0$ __________________ thay đổi nội dung bởi: nguoibimat, 27-11-2012 lúc 12:29 PM | |
The Following User Says Thank You to nguoibimat For This Useful Post: | NguyenThanhThi (27-11-2012) |
28-11-2012, 06:44 PM | #43 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: 26 Bài gởi: 136 Thanks: 47 Thanked 125 Times in 81 Posts | Trích:
[Only registered and activated users can see links. ] __________________ It's all coming back to me now thay đổi nội dung bởi: tir, 29-11-2012 lúc 12:18 PM | |
28-11-2012, 09:27 PM | #44 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Giải bài 16 Cách cổ điển trích cách giải của tir Đặt $x=3a, y=3b, z=3c. $ Khi đó, $x+y+z=3(a+b+c)=3 $ Ta cần chứng minh: $$x^2y+y^2z+z^2x\le 4$$ Lại có bất đẳng thức sau: $$x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le4$$ Không mất tính tổng quát, giả sử b nằm giữa a và c Khi đó, bằng phép biến đổi tương đương, ta chứng minh đc $$x^2y+y^2z+z^2x+xyz \le x^2y+xyz+z^2y+xyz = y(x+z)^2 \le \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{2y+x+z+x+z}{3}\right)^3=4 $$ Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0)$ và các hoán vị Cách bằng hàm Giả sử $a=min{a;b;c}$ , từ đó ta suy ra $0\leq a\leq \frac{1}{3}$. Ta lại có: $a^2b+b^2c+c^2a \leq \frac{4}{27}$ \Leftrightarrow $a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq 0$ Vì $0\leq a\leq \frac{1}{3} \Rightarrow a^2 \leq \frac{a}{3}\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a - \frac{4}{27}\leq \frac{ab}{3}+b^2c+c^2a -\frac{4}{27}=(\frac{b}{3}+c^2)a+b^2c-\frac{4}{27}=f(a)$ Chia $2$ trường hợp _ Nếu $\frac{1}{3}b+c^2=0$ thì $b=c=0$ bất đẳng thức hiển nhiên đúng _Nếu $\frac{1}{3}y+z^2\neq 0$ +Ta lại có $f(0)=b^2c-\frac{4}{27}$ và $b+c=1$ Theo cauchy thì $b^2c\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2(y+z)}{3} \right )^3=\frac{4}{27}$ +$f(\frac{1}{3})=b^2c+\frac{y}{9}+\frac{1}{3}c^2-\frac{4}{27}=-b^3+b^2-\frac{1}{3}y\leq 0$ Kết luận bất đẳng thức đúng và Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0)$ và các hoán vị __________________ thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 29-11-2012 lúc 12:58 PM |
The Following User Says Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: | congvan (01-12-2012) |
30-11-2012, 03:21 PM | #45 | |
Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts | ------------------------------ Trích:
Ta sẽ giải bài toán: Cho $x,y,z\in [1;3]$ và thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 14$, $y>x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)$$ Đặt $f(x)=\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)$, rỏ ràng $f(x)$ đồng biến trên $[1,3]$, nên ta có $$\left(1-\dfrac{y}{x}\right)\left(2+\dfrac{z}{x}\right)\geq (1-y).(2+z)$$ Ta có $(y-1)(z+2)=z(y-1)+2y-2\leq \dfrac{z^2+y^2-2y+1}{2}+2y-2\leq\dfrac{14-2y}{2}+2y-2\leq 8 $ Vậy $P\geq -8$, dấu bằng có khi và chỉ khi $x=1,y=3,z=2$ thay đổi nội dung bởi: tikita, 30-11-2012 lúc 04:44 PM Lý do: Tự động gộp bài, xóa đi một ít do bị nhầm!! | |
The Following 4 Users Say Thank You to tikita For This Useful Post: | congvan (01-12-2012), cool hunter (25-09-2013), dangnamneu (22-04-2014), NguyenThanhThi (30-11-2012) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|