Topic hình học ôn thi vào lớp 10 (2)

liverpool29 · 17-01-2012, 01:03 PM

Bài 1: Cho ngũ giác $ABCDE $ nội tiếp đường tròn $(O) $ sao cho tia $BA $ và tia $DE $ cắt nhau tại $M $, tia $AE $ và tia $CD $ cắt nhau tại $N $. Gọi $K $ là giao điểm của $BC $ và tiếp tuyến của $(O) $ tại $E $. Gọi $P $ là giao điểm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEM $ và $CEK. $
a) Chứng minh $M,P,K $ thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác $APNC $ nội tiếp.
c) Tính $\widehat{MPN} $.

Hi vọng các bạn sẽ tích cực post bài để chia sẻ kinh nghiệm giải toán và mong các anh chị lớp trên vào giúp đỡ chúng em để vượt qua các kì thi sắp đến.

Mọi người post bài nhớ đánh số bài nhé

.

**ptk_1411** · 17-01-2012, 04:40 PM

Tiếp nối truyền thống năm trước, năm nay MS tiếp tục có Topic hình học ôn thi lớp 10. Được thành lập sớm hơn năm trước rất nhiều, hi vọng topic sẽ sôi nổi, thu hút được sự quan tâm của các bạn lớp 9 và cả các anh chị lớp trên. Ngoài topic này, các bạn có thể tham khảo thêm ở topic [Only registered and activated users can see links. ]-topic của năm trước.

Ps 1: mỗi bài hình được gửi lên, các bạn phải đánh số bài, và nếu có thể thì gửi kèm cả hình vào chung với đề.

Ps 2: anh HBM ới......

**HBM** · 18-01-2012, 11:58 AM

Trích:

Nguyên văn bởi liverpool29

Bài 1: Cho ngũ giác $ABCDE $ nội tiếp đường tròn $(O) $ sao cho tia $BA $ và tia $DE $ cắt nhau tại $M $, tia $AE $ và tia $CD $ cắt nhau tại $N $. Gọi $K $ là giao điểm của $BC $ và tiếp tuyến của $(O) $ tại $E $. Gọi $P $ là giao điểm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEM $ và $CEK. $
a) Chứng minh $M,P,K $ thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác $APNC $ nội tiếp.
c) Tính $\widehat{MPN} $.

Anh làm câu a thôi nhé, coi như là khởi động

a)Chứng minh $M,P,K $ thẳng hàng.

Ta có: $180^0=\widehat{EAB}+\widehat{ECB}=\widehat{EPM}+ \widehat{EPK}=\widehat{MPK} \Rightarrow M,P,K $ thẳng hàng.

Ps: Các bài hình trong topic này theo anh nên có cái hình kèm theo khi giải để cho người đọc dễ hiểu mình đang nói cái gì, làm hình mà không có cái hình thì sao sao ấy. Vì thế các bạn khi làm thì nên gửi kèm theo cái hình, nêu không biết vẽ thì cũng không sao, sẽ có cu ptk_1411 lo. Cái thứ 2 là bạn nào giải được bài nào, câu nào thì cứ post, không nhất thiết phải post toàn bộ bài, cứ như mình làm ấy, làm được câu nào là post câu ấy.

minhcanh2095 · 18-01-2012, 12:55 PM

Trích:

Nguyên văn bởi liverpool29

Bài 1: Cho ngũ giác $ABCDE $ nội tiếp đường tròn $(O) $ sao cho tia $BA $ và tia $DE $ cắt nhau tại $M $, tia $AE $ và tia $CD $ cắt nhau tại $N $. Gọi $K $ là giao điểm của $BC $ và tiếp tuyến của $(O) $ tại $E $. Gọi $P $ là giao điểm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEM $ và $CEK. $
a) Chứng minh $M,P,K $ thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác $APNC $ nội tiếp.
c) Tính $\widehat{MPN} $.

b) Chứng minh tứ giác $APNC $ nội tiếp.

Ta có $\widehat {APC} = \widehat {APE} + \widehat {EPC} = \widehat {AME} + \widehat {EKC} $
Mặt khác $\widehat {AME} = \widehat {EAB} - \widehat {AEM} $ và $\widehat {EKC} = \widehat {ECB} - \widehat {KEC} = \widehat {ECB} - \widehat {EAC} $ nên
$\widehat {AME} + \widehat {EKC} = {180^o} - (\widehat {AEM} + \widehat {EAC}) = {180^o} - ({180^o} - \widehat {AED} + \widehat {EAC}) = \widehat {AED} - \widehat {EDN} = \widehat {ANC} $. Từ đây suy ra đpcm.

c) Tính $\widehat{MPN} $.

Dễ thấy $ \widehat {MPN} = \widehat {MPA} + \widehat {NPA} = \widehat {AEM} + \widehat {NPA} = \widehat {ACN} + \widehat {NPA} = {180^o} $

__________________________________________________ _________________________________________

Bài 2 : Cho tam giác đều $ABC $ nội tiếp $(O) $. Đường thẳng $d $ thay đổi nhưng luôn đi qua $A $ và cắt các tiếp tuyến tại $B, C $ của $(O) $ lần lượt tại $M, N. $ ; $MC $ cất $NB $ tại $F $, $d $ cắt $(O) $ tại điểm thứ hai $E $.
Chứng mỉnh rằng :

a) Tam giác $MBA $ và $ACN $ đồng dạng ; tam giác $MBC $ và $BCN $ đồng dạng

b) $BMEF $ nội tiếp

c)$ EF $ luôn đi qua một điểm cố định

tangchauphong · 18-01-2012, 04:52 PM

Trích:

Nguyên văn bởi minhcanh2095

Bài 2 : Cho tam giác đều $ABC $ nội tiếp $(O) $. Đường thẳng $d $ thay đổi nhưng luôn đi qua $A $ và cắt các tiếp tuyến tại $B, C $ của $(O) $ lần lượt tại $M, N. $ ; $MC $ cất $NB $ tại $F $, $d $ cắt $(O) $ tại điểm thứ hai $E $.
Chứng mỉnh rằng :

a) Tam giác $MBA $ và $ACN $ đồng dạng ; tam giác $MBC $ và $BCN $ đồng dạng

b) $BMEF $ nội tiếp

c)$ EF $ luôn đi qua một điểm cố định

a) Chứng minh tam giác $MBA $ và $ACN $ đồng dạng ; tam giác $MBC $ và $BCN $ đồng dạng

Dễ dàng chứng minh được $MB $ song song với $AC $. Khi đó ta có $\widehat{NAC} = \widehat{NMB} = \widehat{AMB} $.
Ta lại có $MB $ là tiếp tuyến nên $\widehat{MBA} =\widehat{ACB} $. Tương tự $\widehat{NCA}=\widehat{ABC} $. Vậy $\widehat{MBA}=\widehat{NCA} $.
Vậy tam giác MBA đồng dạng với tam giác ACN.

b) Chứng minh tứ giác $BMEF $ nội tiếp

Từ phần a ta dễ chứng minh được tam giác $MBC $ đồng dạng với tam giác $BCN $.

Vậy $\widehat{BCM}=\widehat{BCF}=\widehat{BNC} $. Suy ra tam giác $BCF $ đồng dạng với tam giác $BNC $.

Mà $\widehat{BCN}=120=\widehat{BOC} $. Suy ra $\widehat{BFC}=\widehat{BOC} $. Vậy tứ giác $BFOC $ nội tiếp.

Suy ra $\widehat{MFB}=60 $. Mà $\widehat{MEB}=\widehat{ACB} =60 $. Suy ra $\widehat{MFB}=\widehat{MEB} $.
Vậy tứ giác MEFB nội tiếp.

liverpool29 · 18-01-2012, 05:26 PM

Trích:

Nguyên văn bởi minhcanh2095

Bài 2
c) Chứng minh $EF $ luôn đi qua 1 điểm cố định
Gọi giao điểm của $BM , CN $ là $K. $
Dễ thấy $BK \parallel AC; CK \parallel AB $ nên suy ra $K $ cố định.
Do $\bigtriangleup{MBC} \backsim \bigtriangleup{BCN} $ (câu a) nên tứ giác $MBCN $ nội tiếp được.
Suy ra $KB.KM=KC.KN (1) $.
Gọi $F' $ là giao điểm thứ 2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BME $ và $KE $; gọi $F'' $ là giao điểm thứ 2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ECN $ và $KE $.
Ta có tứ giác $ BMEF, EFCN $ nội tiếp nên ta suy ra:

$KB.KM=KF'.KE; KC.KN=KF''.KE (2) $.
Từ (1),(2) ta suy ra $KF'.KE=KF''.KE $.
Suy ra $F', F'' $ trùng nhau và trùng $F $.
Suy ra $K,E,F $ thẳng hàng.
Mà $K $ cố định.
Vậy $EF $ luôn di qua $K $ cố định.

Cảm ơn các bạn và các ông anh yêu quí đã nhiệt tình tham gia topic.

nguyenle.tuan · 18-01-2012, 05:58 PM

Mọi ngươig giúp em bài này.
Bài 3: Cho hai đường tròn (S) và (T) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d tiếp xúc với đường trong (S) tại C, tiếp xúc với đường tròn (T) tại E và sao cho khoảng cách từ A đến d lớn hơn khoảng cách từ B đến d.
a) Gọi D là điểm đối xứng của A qua d. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp một đường tròn (V).
b) Gọi $R_S, R_T, R_V $ lần lượt là bán kính của (S),(T),(V).
Chứng minh rằng $R_S.R_T=R^2_V $

liverpool29 · 18-01-2012, 06:27 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nguyenle.tuan

Bài 3: Cho hai đường tròn (S) và (T) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d tiếp xúc với đường trong (S) tại C, tiếp xúc với đường tròn (T) tại E và sao cho khoảng cách từ A đến d lớn hơn khoảng cách từ B đến d.
a) Gọi D là điểm đối xứng của A qua d. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp một đường tròn (V).
b) Gọi $R_S, R_T, R_V $ lần lượt là bán kính của (S),(T),(V).
Chứng minh rằng $R_S.R_T=R_V $

Bài 3:
a) Chứng minh tứ giác $BCDE $ nội tiếp một đường tròn $(V) $
Ta có:
$\widehat{BCE}=90-\widehat{SCB}=\widehat{BAC} $
Tương tự: $\widehat{BEC}=\widehat{BAE} $.
Suy ra $\widehat{CDE}= \widehat{CAE}= \widehat{CAB}+\widehat{BAE}= \widehat{BCE}+\widehat{BEC}= 180-\widehat{CBE} $.
Suy ra đccm.
b) Chứng minh $R_S . R_T= R^2_V $ chứ nhỉ?

Ta có:
$\widehat{CSV}=\frac{\widehat{CSB}}{2}=\widehat{CAB }=\widehat{BCE}=\widehat{BDC}.
$
Tương tự:
$\widehat{VTE}=\widehat{BAE}=\widehat{BEC}=\widehat {BDC} $
Từ đây suy ra:
$\bigtriangleup{CSV} \backsim \bigtrinagleup{EVT} \backsim \bigtriangleup{BCE} $.
Từ đây suy ra đccm.

Bài 4:
Cho đường tròn $(O) $ đường kính $AB. $. $C $ là trung điểm $OB $ và $(S) $ là đường tròn đường kính $ AC $. Trên đường tròn $(O) $ lấy 2 điểm tùy ý phân biệt $M,N $ khác $A,B. $. Gọi $P,Q $ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $AM,AN $ với $(S) $.
Vẽ tiếp tuyến $ME,NF $ tới $(S). $, với $E,F $ là các tiếp điểm. Chứng minh :$\frac{ME}{NF}=\frac{AM}{AN} $.

Em có kiến nghị thế này: Mọi người post lời giải thì nhớ post luôn bài mới. Em cám ơn.

**ptk_1411** · 18-01-2012, 09:48 PM

Trích:

Nguyên văn bởi liverpool29

Bài 4:
Cho đường tròn $(O) $ đường kính $AB. $. $C $ là trung điểm $OB $ và $(S) $ là đường tròn đường kính $ AC $. Trên đường tròn $(O) $ lấy 2 điểm tùy ý phân biệt $M,N $ khác $A,B. $. Gọi $P,Q $ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $AM,AN $ với $(S) $.
Vẽ tiếp tuyến $ME,NF $ tới $(S). $, với $E,F $ là các tiếp điểm. Chứng minh :$\frac{ME}{NF}=\frac{AM}{AN} $.

Chứng minh $\dfrac{ME}{NF}=\dfrac{AM}{AN} $

Chú ý rằng $ME^2=MP.MA $ và $NF^2=NQ.NA $.

Do đó nếu bình phương 2 vế đẳng thức cần chứng minh thì ta có đẳng thức tương đương: $\frac{MP}{NQ}=\frac{AM}{AN} $ hay cần chứng minh $PQ\parallel MN $.

Cần chứng minh: $\widehat{PQA}=\widehat{MNA} $

Lại có $\widehat{PQA}=\widehat{PCA} $, $\widehat{MNA}=\widehat{BMA} $

Nên ta cần $\widehat{BMA}=\widehat{PCA} $.

Điều này là hiển nhiên, vì $PC $ và $MB $ cùng vuông góc với $AM $ nên $PC\parallel MB.\square $

**n.v.thanh** · 18-01-2012, 10:01 PM

Mấy bạn nhớ là phải add thêm hình thông qua Attachment nhé. Với lại lúc vẽ xong hình nên để định dạng hình là JPG khi đó hình sẽ không bị nhòe như trên

.

liverpool29 · 18-01-2012, 10:03 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ptk_1411

Bài 5:

Cho tg ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.Từ A kẻ các tiếp tuyến AP, AQ của (O) (P, Q là tiếp điểm).Gọi H là trực tâm tg ABC., I là giao điểm của AO và PQ, K là giao điểm của AH và BC.Cmr:
a) IHKO nội tiếp.
b) P, H, Q thẳng hàng.
c) Các đường BQ, CP, AH đồng quy.
d)Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với (O). Cmr: EQ, FP, AH đồng quy.
e) BF cắt OP tại X; CE cắt OQ tại S. Cmr: FEXS nội tiếp.
f) AS là phân giác $\widehat{QAK} $

Đây là bài 9 trong Topic hình học ôn thi lớp 10 (1) nhưng chưa có lời giải câu c,d,e,f theo cách THCS.Trước khi post bài mới, mời các bạn cùng hoàn thiện lời giải bài này.

conami · 18-01-2012, 10:12 PM

Bài 6: Cho tam giác đều $ABC $. Các cặp điểm $A_{1}; A_{2}; B_{1}; B_{2}; C_{1}; C_{2} $ thứ tự thuộc các cạnh $BC;CA;AB $ sao cho lục giác $A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2} $ có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng $A_{1}B_{2}; B_{1}C_{2}; C_{1}A_{2} $ đồng quy.

liverpool29 · 18-01-2012, 10:44 PM

Trích:

Nguyên văn bởi ptk_1411

Bài 5
c) Chứng các đường thẳng $BQ, CP, AH $ đồng quy
Dễ thấy tứ giác $PQOK $ nội tiếp (cùng thuộc đường tròn đướng kính AO) nên ta suy ra:
$\widehat{PQB}=\widehat{PCB}=\frac{\widehat{POB}}{2 }=\frac{\widehat{PQK}}{2} $.
Suy ra $QB $ là phân giác $\widehat{PQK} $.
Tương tự, ta có $PC $ là phân giác $\widehat{KPQ}. $
Tứ giác $PAQK $ nội tiếp nên:
$\widehat{PKA}=\widehat{PQA}=\widehat{QPA}=\widehat {AKQ} $.
Suy ra $KA $ là phân giác góc $PKQ $.
Suy ra $BQ,CP,AH $ đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác $QPK $.

**ptk_1411** · 19-01-2012, 10:38 AM

Gửi mọi người các lời giải đã có của Bài 5:

Trích:

Nguyên văn bởi ptk_1411

Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.Từ A kẻ các tiếp tuyến AP, AQ của (O) (P, Q là tiếp điểm). Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là giao điểm của AO và PQ, K là giao điểm của AH và BC.

a) Chứng minh IHKO nội tiếp:

Trích:

Nguyên văn bởi HBM

Ta có:
$AI.AO=AP^2 $ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$AP^2=AE.AF $ (vì $\triangle AEP \sim \triangle APB $)

$AE.AF=AH.AK $ (vì $\triangle AEH \sim AKB $)

$\Rightarrow AI.AO=AH.AK $ kết hợp với góc IAH chung $\Rightarrow \triangle IAH \sim \triangle KAO \triangle \widehat{AIH}=\widehat{AKO} \Rightarrow $ đpcm

b) Chứng minh P, H, Q thẳng hàng:

Trích:

Nguyên văn bởi HBM

Tứ giác IHKO nội tiếp $\Rightarrow HI\perp AO $
Mặt khác: $PQ\perp AO \Rightarrow P,I,H,Q $ thẳng hàng

c) Chứng minh BQ, CP, AH đồng quy:

Trích:

Nguyên văn bởi liverpool29

Dễ thấy tứ giác $PQOK $ nội tiếp (cùng thuộc đường tròn đướng kính AO) nên ta suy ra:
$\widehat{PQB}=\widehat{PCB}=\frac{\widehat{POB}}{2 }=\frac{\widehat{PQK}}{2} $.
Suy ra $QB $ là phân giác $\widehat{PQK} $.
Tương tự, ta có $PC $ là phân giác $\widehat{KPQ}. $
Tứ giác $PAQK $ nội tiếp nên:
$\widehat{PKA}=\widehat{PQA}=\widehat{QPA}=\widehat {AKQ} $.
Suy ra $KA $ là phân giác góc $PKQ $.
Suy ra $BQ,CP,AH $ đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác $QPK $.

d) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với (O). Chứng minh EQ, FP, AH đồng quy:

Trích:

Nguyên văn bởi conami

Nếu dùng định lí Pascal thì giao điểm của $BE $ với $CF $,của $BP $ với $CQ $, của $PE $ với $QF $ là 3 điểm thẳng hàng $\Rightarrow $ ĐPCM

f) Chứng minh AS là phân giác góc KAQ:

Trích:

Nguyên văn bởi liverpool29

Ta có tứ giác $AESQ, EQCB, AOKQ $ nội tiếp nên ta suy ra:
$\widehat{SAQ}=\widehat{SEQ}=\widehat{QBC}=\frac{ \widehat{QOC}}{2}=\frac{ \widehat{KAQ}}{2} $.
Suy ra $AS $ là phân giác $\widehat{KAQ} $

hqdhftw · 19-01-2012, 10:52 AM

Bài 7:
Cho hình vuông $ABCD $ nội tiếp $(O;R) $. $M $ bất kì thuộc cung nhỏ $AB $.
a/Tính $MA^4+MB^4+MC^4+MD^4 $ theo $R $.
b/Chứng minh $MA+MC=MD\sqrt 2 $

17-01-2012, 04:40 PM	#2
ptk_1411 Moderator Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 698 Thanks: 162 Thanked 813 Times in 365 Posts	Tiếp nối truyền thống năm trước, năm nay MS tiếp tục có Topic hình học ôn thi lớp 10. Được thành lập sớm hơn năm trước rất nhiều, hi vọng topic sẽ sôi nổi, thu hút được sự quan tâm của các bạn lớp 9 và cả các anh chị lớp trên. Ngoài topic này, các bạn có thể tham khảo thêm ở topic [Only registered and activated users can see links. ]-topic của năm trước. Ps 1: mỗi bài hình được gửi lên, các bạn phải đánh số bài, và nếu có thể thì gửi kèm cả hình vào chung với đề. Ps 2: anh HBM ới...... __________________ *P.T.K* *Có xa xôi mấy mà tình xa xôi...*

18-01-2012, 10:01 PM	#10
n.v.thanh Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts	Mấy bạn nhớ là phải add thêm hình thông qua Attachment nhé. Với lại lúc vẽ xong hình nên để định dạng hình là JPG khi đó hình sẽ không bị nhòe như trên . Mình góp ý tí, lát mình xóa cái cmt .