Vòng 2- Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên KHTN 2012

[liverpool29]

Câu 1:
$1)$
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=2\\ 9xy(3x-y)+6=26x^3-2y^3 \end{matrix}\right.$
$2)$
Giải phương trình:
$(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{4-x}+2)=2x$

Câu 2:
$1)$ Tìm 2 chữ số tận cùng của số
$A=41^{106}+57^{2012}$
$2)$ Tìm GTLN hàm số:
$y=3\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$
với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

Câu 3:
Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB>AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Giả sử $M;N$ là 2 điểm thuộc cung nhỏ $BC$ sao cho $MN$ song song với $BC$ và tia $AN$ nằm giữa hai tia $AM,AB$. $P$ là hình chiếu vuông góc $C$ trên $AN$ và $Q$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AB$.
1) Giả sử $CP$ giao $QM$ tại $T$. CMR: $T$ nằm trên đường tròn tâm $(O)$
2) $NQ$ giao $(O)$ tai $R$ khác $N$. Giả sử $AM$ giao $PQ$ tại $S$. CMR 4 điểm $A, R ,Q ,S$ thuộc 1 đường tròn

Câu 4. Với mỗi số n nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cố định,xét các tập n số thực đôi một khác nhau $X=\begin{Bmatrix} x_1,x_2,...x_n \end{Bmatrix}$. Kí hiệu $C(X)$ là số các giá trị khác nhau của tổng $x_i+x_j(1\leq i< j\leq n)$. Tìm GTLN GTNN của $C(X)$

Nguồn: diendantoanhoc.net
------------------------------
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pco]

Nguyên văn bởi liverpool29

Câu $2:$
$1)$ Tìm 2 chữ số tận cùng của số
$A=41^{106}+57^{2012}$

Chém câu dễ nhất.
Ta có $41^5 \equiv 1 \pmod{100} \implies 41^{106} \equiv 41 \pmod{100}$
$57^4 \equiv 01 \pmod{100} \implies 57^{2012} \equiv 01 \pmod{100}$

Do đó $$A=41^{106}+57^{2012} \equiv \fbox{42} \pmod{100}$$
Hay $A$ tận cùng là $42$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[liverpool29]

Bài 3:
$a)$ Ta có: $\widehat{CAM}= \widehat{BAN}$
Suy ra $\widehat{CAN}= \widehat{BAM}$
Suy ra $\widehat{ACT}= \widehat{AMT}$
Suy ra tứ giác $ACMT$ nội tiếp được.
$b)$ Ta có: $\widehat{AQP}= \widehat{ATC}= \widehat{ABC}$
Suy ra $PQ \parallel BC \parallel MN$
Suy ra $\widehat{ARQ}+ \widehat{ASQ}= \widehat{ARQ}+ \widehat{AMN}=180$
Suy ra đccm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Đáp số bài cuối là $Min =2n-3, Max = \dfrac{n(n-1)}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hien123]

Nguyên văn bởi liverpool29

Câu 1:
$1)$
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=2\\ 9xy(3x-y)+6=26x^3-2y^3 \end{matrix}\right.$
$2)$
Giải phương trình:
$(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{4-x}+2)=2x$

Câu 2:
$1)$ Tìm 2 chữ số tận cùng của số
$A=41^{106}+57^{2012}$
$2)$ Tìm GTLN hàm số:
$y=3\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$
với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

Câu 3:
Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB>AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Giả sử $M;N$ là 2 điểm thuộc cung nhỏ $BC$ sao cho $MN$ song song với $BC$ và tia $AN$ nằm giữa hai tia $AM,AB$. $P$ là hình chiếu vuông góc $C$ trên $AN$ và $Q$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AB$.
1) Giả sử $CP$ giao $QM$ tại $T$. CMR: $T$ nằm trên đường tròn tâm $(O)$
2) $NQ$ giao $(O)$ tai $R$ khác $N$. Giả sử $AM$ giao $PQ$ tại $S$. CMR 4 điểm $A, R ,Q ,S$ thuộc 1 đường tròn

Câu 4. Với mỗi số n nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cố định,xét các tập n số thực đôi một khác nhau $X=\begin{Bmatrix} x_1,x_2,...x_n \end{Bmatrix}$. Kí hiệu $C(X)$ là số các giá trị khác nhau của tổng $x_i+x_j(1\leq i< j\leq n)$. Tìm GTLN GTNN của $C(X)$

Nguồn: diendantoanhoc.net
------------------------------

Nhận xét chủ quan của mình cho thấy đề năm nay dễ hơn đề năm ngoái. Bài tổ hợp cuối cùng khá đơn giản.
Lời giải bài 4. Không mất tính tổng quát, giả sử $x_{1}<x_{2}<...<x_{n} $.
Khi đó, ta có đánh giá.

$x_{1}+x_{2}<x_{1}+x_{3}<...<x_{1}+x_{n}<x_{2}+x_{n }<x_{3}+x_{n}<...<x_{n-1}+x_{n} $

Do đó, $C(x)\geqslant 2n-3 $. có thể chỉ ra tập số thỏa mãn chính là tập hợp n số nguyên dương đầu tiên.
Phần còn lại tìm max cũng khá dễ. Hiển nhiên, $C(x)\leqslant \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} $. Một tập hợp thỏa mãn tính chất này chẳng hạn $\left \{ 2,2^{2},...,2^{n} \right \} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ladykillah96]

Nguyên văn bởi liverpool29

[B]Câu 2/B
$2)$ Tìm GTLN hàm số:
$y=3\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$
với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

Áp dụng AM - GM, ta có:

$3.2.1\sqrt{2x-1} \le 3(1 + 2x - 1) = 6x $
$2x\sqrt{5-4x^2} \le x^2 + 5 - 4x^2 = -3x^2+5 $

Cộng theo vế 2 điều trên ta được:

$2y \le -3x^2+6x+5 = -3(x-1)^2+8 \le 8 $ $\Leftrightarrow y \le 4 $.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = 1 $.
Vậy $\max y = 4 \Leftrightarrow x = 1 $.

Đề năm nay dễ hơn năm ngoái!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Công nhận đề chỉ bằng nửa năm ngoái
Bài pt thì nhân liên hợp rồi đánh giá

chắc dễ rồi

Bài hệ thay phương trình (1) vào số ''$6 $'' của pt (2) ra được phương trình đồng bậc
$26x^{3}-2y^{3}-30x^{2}y+6xy^{2}=0 $

phương trình trên có nghiệm duy nhất $x=y $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hamaianh0405]

Nguyên văn bởi hien123

Nhận xét chủ quan của mình cho thấy đề năm nay dễ hơn đề năm ngoái. Bài tổ hợp cuối cùng khá đơn giản.
Lời giải bài 4. Không mất tính tổng quát, giả sử $x_{1}<x_{2}<...<x_{n} $.
Khi đó, ta có đánh giá.

$x_{1}+x_{2}<x_{1}+x_{3}<...<x_{1}+x_{n}<x_{2}+x_{n }<x_{3}+x_{n}<...<x_{n-1}+x_{n} $

Do đó, $C(x)\geqslant 2n-3 $. có thể chỉ ra tập số thỏa mãn chính là tập hợp n số nguyên dương đầu tiên.
Phần còn lại tìm max cũng khá dễ. Hiển nhiên, $C(x)\leqslant \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} $. Một tập hợp thỏa mãn tính chất này chẳng hạn $\left \{ 2,2^{2},...,2^{n} \right \} $

Sao lại từ

$x_{1}+x_{2}<x_{1}+x_{3}<...<x_{1}+x_{n}<x_{2}+x_{n }<x_{3}+x_{n}<...<x_{n-1}+x_{n} $

thì ra được min la $2n-3 $ hả anh?Em chưa hiểu rõ lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Có ít nhất 2n-3 giá trị còn gì em ?

Và có thể chỉ ra tập thoả mãn

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hamaianh0405]

Tại sao lại có ít nhất $2n-3 $ giá trị hả anh?Em thấy $C(x) $ luôn có thể nhận được nhiều nhất số giá trị mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Nguyên văn bởi hamaianh0405

Tại sao lại có ít nhất $2n-3 $ giá trị hả anh?Em thấy $C(x) $ luôn có thể nhận được nhiều nhất số giá trị mà

Đơn giản là bạn hiểu nó sẽ bị trùng giá trị kiểu như $1+4=2+3 $ đó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[linh1997]

------------------------------
Mọi người ơi có ai biết bao giờ công bố kết quả không ,em đang nóng ruột ưa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Nguyên văn bởi linh1997

------------------------------
Mọi người ơi có ai biết bao h công bố kết quả ko ,e đang nóng ruột ưa

Khoảng 19,20/6 em ạ!Năm nay chắc phải 33 điểm mới vào được Toán 1

anh đùa đấy27 thôi

27 vào chuyên Tin

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[bboy114crew]

Nguyên văn bởi linh1997

------------------------------
Mọi người ơi có ai biết bao h công bố kết quả ko ,e đang nóng ruột ưa

Chắc khoảng 2 hay 3 tuần nữa em à!
Mà em thi chuyên toán hay chuyên tin thế?

Nguyên văn bởi vjpd3pz41iuai

Khoảng 19,20/6 em ạ!Năm nay chắc phải 33 điểm mới vào được Toán 1

anh đùa đấy27 thôi

27 vào chuyên Tin

Cái này không nói trước được!
Như năm bọn mình thì
P\s: Mà cho mình hỏi vjpd3pz41iuai học KHTN à!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoangquan_9x]

Nguyên văn bởi vjpd3pz41iuai

Khoảng 19,20/6 em ạ!Năm nay chắc phải 33 điểm mới vào được Toán 1

anh đùa đấy27 thôi

27 vào chuyên Tin

Mình nghĩ cậu nói vậy không đúng , năm mình thi đã lấy 30,5 hay 31 vào chuyên Tin rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]