Cho tập hợp các số nguyên $A$ thỏa mãn

[Sky Nguyễn]

Cho tập hợp các số nguyên $A$ thỏa mãn đồng thời 2 tính chất sau:
Tính chất 1: $\forall a, b \in A$ $\Rightarrow$ $2a, a+b \in A$
Tính chất 2: $A$ chứa cả số dương lẫn số âm.
Chứng minh rằng: nếu $a, b$ thuộc $A$ thì $a-b$ cũng thuộc $A$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Nguyên văn bởi Sky Nguyễn

Cho tập hợp các số nguyên $A$ thỏa mãn đồng thời 2 tính chất sau:
Tính chất 1: $\forall a, b \in A$ $\Rightarrow$ $2a, a+b \in A$
Tính chất 2: $A$ chứa cả số dương lẫn số âm.
Chứng minh rằng: nếu $a, b$ thuộc $A$ thì $a-b$ cũng thuộc $A$

Gọi $x>0$ nhỏ nhất sao cho $x\in A$ và $y<0$ lớn nhất sao cho $y\in A$. Từ giả thiết ta có các tính chất sau:

• Nếu $x\in A$ thì $nx\in A,\forall n\in\mathbb{N}^*$.

• Ta có $y\in A$ suy ra $xy\in A$ và do $x\in A$ nên $-xy\in A$. Hay $0=xy+(-xy)\in A$. Ta từ đây ta có nếu $x\in A$ thì $nx\in A,\forall n\in\mathbb{N}$.

• Từ các tính chất trên ta có: $xy\in A$ và $-(y+1)x\in A$ suy ra $-x\in A$, tương tự ta có $-y\in A$. Do sự định nghĩa của $x,y$ nên $-y=x$. Hay ta được: nếu $x\in A$ thì $nx\in\forall n\in\mathbb{Z}$.

• Giả sử có số $z=nx+r\in A$ với $x\in A,n\in\mathbb{Z}$ và $0<r<x$, do $-nx\in A$ nên $r\in A$(vô lý vì $0<r<x$)

Từ đây suy ra tập $A=\{nx|n\in\mathbb{Z}\}$ với $x$ là một số nguyên dương nào đó. Hay ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]