Vết đường cong có diện tích bằng 0

99 · 28-11-2011, 07:42 PM

Gợi ý trên vẫn hơi mù mờ : em chứng minh ý sau : nếu $f \colon [a,b]\to \mathbb{R}^2 $ là đường cong trơn lớp $C^1 $, không nhất thiết phải đơn, hay chính quy, có độ dài là $l $, thì ta có thể phủ nó = hình vuông có diện tích bé hơn hoặc bằng $l^2 $.

Sau đó ta chia nhỏ đường cong thành các đoạn có độ dài $l_i $, và phủ bởi các hình vuông có diện tích $l_i^2 $. Tổng các diện tích này sẽ tiến tới 0 khi ta chia ngày càng nhỏ đường cong đã cho.

Điều kiện chính quy là không cần thiết, cái ta cần là đường cong này trơn $C^1 $ để nó có tính Lipschitz địa phương và có độ dài.

Về định lý Sard : cho $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ là ánh xạ nhẵn (tức là lớp $C^{\infty} $), khi đó tập các giá trị tới hạn (critical value) của $f $ có độ đo 0.

Lưu ý : lớp $C^1 $ vẫn đúng nhưng chứng minh khó. Tập có độ đo 0 ta hiểu theo nghĩa : ta có thể phủ tập đó bởi các hình lập phương (trong $\mathbb{R}^m $) sao cho tổng thể tích của các hình lập phương đó nhỏ tùy ý. Điểm tới hạn, giá trị tới hạn em tìm trên wiki. Định lý này có rất rất nhiều ứng dụng, nên theo ý kiến của anh là nên cho sinh viên đại học biết về nó trong học phần giải tích cổ điển hoặc nâng cao, ít nhất ở dạng dễ nhất.

28-11-2011, 07:42 PM	#5
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Gợi ý trên vẫn hơi mù mờ : em chứng minh ý sau : nếu $f \colon [a,b]\to \mathbb{R}^2 $ là đường cong trơn lớp $C^1 $, không nhất thiết phải đơn, hay chính quy, có độ dài là $l $, thì ta có thể phủ nó = hình vuông có diện tích bé hơn hoặc bằng $l^2 $. Sau đó ta chia nhỏ đường cong thành các đoạn có độ dài $l_i $, và phủ bởi các hình vuông có diện tích $l_i^2 $. Tổng các diện tích này sẽ tiến tới 0 khi ta chia ngày càng nhỏ đường cong đã cho. Điều kiện chính quy là không cần thiết, cái ta cần là đường cong này trơn $C^1 $ để nó có tính Lipschitz địa phương và có độ dài. Về định lý Sard : cho $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $ là ánh xạ nhẵn (tức là lớp $C^{\infty} $), khi đó tập các giá trị tới hạn (critical value) của $f $ có độ đo 0. Lưu ý : lớp $C^1 $ vẫn đúng nhưng chứng minh khó. Tập có độ đo 0 ta hiểu theo nghĩa : ta có thể phủ tập đó bởi các hình lập phương (trong $\mathbb{R}^m $) sao cho tổng thể tích của các hình lập phương đó nhỏ tùy ý. Điểm tới hạn, giá trị tới hạn em tìm trên wiki. Định lý này có rất rất nhiều ứng dụng, nên theo ý kiến của anh là nên cho sinh viên đại học biết về nó trong học phần giải tích cổ điển hoặc nâng cao, ít nhất ở dạng dễ nhất.