Tìm_Nga 1997

[vipCD]

Tìm tất cả cặp số nguyên tố $p,q $ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conan236]

Nguyên văn bởi vipCD

Tìm tất cả cặp số nguyên tố $p,q $ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2 $

từ điều kiện ta suy ra $p>3 $
xét $q{\ge}3 $

Nếu$(p+q)^2{\equiv}0 (mod 3) $
thì có 2 TH xảy ra :
*$p{\equiv}1 , q{\equiv}2 (mod 3) $
${\rightarrow}p^3-q^5{\equiv}1-2^5{\equiv}-1 (mod 3) $
${\rightarrow} VT{\neq}VP $
*$p{\equiv}2 , q{\equiv}1 (mod 3) $
${\rightarrow}p^3-q^5{\equiv}2^3-1{\equiv}1 (mod 3) $
${\rightarrow} VT{\neq}VP $
vậy trong TH này pt vô nghiệm
Do đó $(p+q)^2{\equiv}1 (mod 3) $
dễ thấy $p^3{\equiv}0,1 ; q^5{\equiv}0,1,2 (mod 3) $
${\rightarrow}p{\equiv}1 , q{\equiv}0 (mod 3) $
${\rightarrow}q=3 $
vậy pt ban đầu trở thành : $p^3-p^2-6p-252=0 $
${\rightarrow}p=7 $ (do $p{\in}N* $)
Xét $q=2 $ pt ban đầu trở thành $p^3-p^2-4p-34=0 $
${\rightarrow} $vô nghiệm nguyên tố
Vậy pt chỉ có 1 nghiệm duy nhất là $(p,q)=(7,3) $
em thấy cách này hơi dài ai có cách giải ngắn gọn thì post lên nha:burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dong1919]

Có p khác q
Bài này đưa về $ q^5+q^3=q^3(q^2+1) \equiv 0 (mod p+q) $
=>$ q^2+1=m(p+q) $
Lại có $ q^5+q^2 \vdots p $
=>$ q^2(q+1)(q^2-q+1) \vdots p $
=>$ (m-1)q \vdots p $
=>$ m-1=0 $ do $ m \le p $
=>$ q^2-q+1=p $
=> q=3,p=7
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]