Một số kiến thức về hình trong các cuộc thi Olympic Toán !

[trung anh]

I.15) Định lí Carnot


Định lý:
Cho $\Delta ABC $. Gọi $M, N, P $ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $BC,AC,AB $. $d_M, d_N, d_P $ lần lượt là các đường thẳng đi qua $M, N, P $ và vuông góc với $BC, AC, AB $. $d_M, d_N, d_P $ đồng quy khi và chỉ khi
$MB^2+NC^2+PA^2=MC^2+NA^2+PB^2 $



Chứng minh:
a)Phần thuận:
Gọi $d_M, d_N, d_P $ đồng quy tại O.
ĐPCM $\Leftrightarrow $ $MB^2+OM^2+NC^2+ON^2+PA^2+OP^2=MC^2+OM^2+NA^2+ON^2+ PB^2+OP^2 $
$\Leftrightarrow OB^2+OC^2+OA^2=OB^2+OC^2+OA^2 $
Đẳng thức này đúng nên ta có điều phải chứng minh.
b) Phần đảo
Gọi giao điểm của $d_M, d_N $ tại O. Qua O hạ đường vuông góc xuống AB tại P'. Áp dụng định lí thuận ta có $MB^2+NC^2+P'A^2=MC^2+NA^2+P'B^2 \Rightarrow $ P trùng với P'$ \Rightarrow d_M, d_N, d_P $đồng quy.
Các bạn có thể vào đây xem vài điều liên quan:[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]