|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
|
22-03-2018, 02:06 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2018 Bài gởi: 3 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Phương trình $(1+x)^y=1+x!$ Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn\[1+x! =(1+x)^y.\] |
22-03-2018, 06:48 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Đến từ: Chuyên Bảo Lộc Bài gởi: 31 Thanks: 41 Thanked 3 Times in 3 Posts | Cái này có bóng dáng Wilson |
24-03-2018, 10:17 PM | #3 |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc Bài gởi: 17 Thanks: 51 Thanked 10 Times in 7 Posts | $1 + x! = {\left( {1 + x} \right)^y}{\rm{ }}\left( * \right)$ Với $x = 1$ ta có ${2^y} = 2 \Leftrightarrow y = 1$ $ \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$ Tương tự với các trường hợp $x = 2$, $x = 3$ và $x = 4$ ta tìm được $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right);\left( {4;5} \right)$ Bây giờ ta đi chứng minh $\forall x > 4$, $\left( * \right)$ không có nghiệm nguyên dương. TH1: $x=2k+1$,$k \in Z$: Dễ thấy $2$ là ước của $VP$, còn $VT$ không chia hết cho $2$ nên $\left( * \right)$ không có nghiệm nguyên. TH2: $x=2k$,$k \in Z$, mà $x>4$ nên $x$ không là số nguyên tố, để có $x|\left( {x - 1} \right)!$ Có: \[\begin{array}{l} x! = {\left( {x + 1} \right)^y} - 1 = C_y^1x + C_y^2{x^2} + ... + C_y^y{x^y}\\ \Rightarrow \left( {x - 1} \right)! = x\left( {C_y^2 + C_y^3x + ... + C_y^y{x^{y - 2}}} \right) + y \end{array}\] mà $x|\left( {x - 1} \right)!$ nên $x|y \Rightarrow y \ge x$ Do đó: ${\left( {x + 1} \right)^y} \ge {\left( {x + 1} \right)^x} > x! + 1$ (vì $x>4$) Nên $\left( * \right)$ vô nghiệm Vậy $\forall x > 4$, $\left( * \right)$ không có nghiệm nguyên dương. Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right);\left( {2;1} \right);\left( {4;5} \right)$ |
Bookmarks |
|
|