Tập các điểm gián đoạn

[quanghuy01]

Cho X là không gian metric và f là hàm số xác định trên X. Chứng minh tập các điểm gián đoạn của f là giao của 1 số đếm được các tập mở.
Ai giúp em bài này với!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuandamath]

Nguyên văn bởi quanghuy01

Cho X là không gian metric và f là hàm số xác định trên X. Chứng minh tập các điểm gián đoạn của f là giao của 1 số đếm được các tập mở.
Ai giúp em bài này với!

Nguyên văn bởi quanghuy01

Cho X là không gian metric và f là hàm số xác định trên X. Chứng minh tập các điểm gián đoạn của f là giao của 1 số đếm được các tập mở.
Ai giúp em bài này với!

Mình nghĩ tập các điểm liên tục của $f $ là giao của một số đếm được các tập mở và tập các điểm gián đoạn của f là hợp của một số đếm được các tập đóng.
Mình có thể đề xuất một lời giải như sau:
Đặt tập các điểm liên tục là $CP(f) $, khi đó lấy $x_0\in CP(f) $, với mỗi $n $ tồn tại hình cầu $B_n(x_0) $ sao cho với mọi $x,y\in B_n(x_0) $ thì $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{n}. $ Đặt $U_n=\cup_{x_0\in CP(f)}B_n(x_0) $ thì $U_n $ là mở. Đặt $G=\cap{n\geq 1}U_n $. Khi đó ko khó khăn để chứng minh rằng $G=CP(f) $, chú ý rằng $G $ là giao đếm được các tập mở.
Như một hệ quả, tập các điểm gián đoạn của $f $ là hợp đếm được các tập đóng.
Comment: Một ví dụ dễ thấy để chứng tỏ rằng hai khái niệm hợp đếm được các tập đóng và giao đếm được các tập mở không trùng nhau đó là tập các số hữu tỉ $\mathbb{Q}=\cup_n r_n $ là hợp những tập đóng. Và dễ thấy từ đó tập số vô tỉ $I $ là giao đếm được các tập mở trù mật, kí hiệu là $B_n $, trong $\mathbb{R} $. Tuy nhiên nếu $\mathbb{Q} $ biểu diễn được dưới dạng giao đếm được các tập mở $A_n $ trong $\mathbb{R} $ thì rõ ràng $A_n $ trù mật trong $\mathbb{R} $ vì nó chứa $\mathbb{Q} $. Mặt khác, $\mathbb{Q}\cap I=\emptyset $. Nên $(\cap_n A_n)\cap(\cap_n B_n)\emptyset. $ Nhắc lại rằng các tập $A_n,B_n $ mở trù mật trong $\mathbb{R} $. Viết lại $(\cap_n A_n)\cap(\cap_n B_n)=\emptyset. $ dưới dạng $\cap_n C_n=\emptyset $ với $C_n $ mở, trù mật trong $\mathbb{R} $. Từ đó $\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\emptyset=\mathbb{R} \setminus \cap_n C_n=\cup_n \mathbb{R}\setminus C_n $. Vậy $\mathbb{R} $ biểu diễn được dưới dạng hợp đếm được của những tập đóng không đâu trù mật. Theo đinh lý Baire thì điều này là ko thể vì $\mathbb{R} $ là không gian đủ.
Comment: Xây dựng hàm số liên tục tại các điểm vô tỉ và gián đoạn tại các điểm hữu tỉ thì chúng ta đều biết một hàm là $f(x)=0 $ với $x $ vô tỉ và $f(x)=1/q $ với $x $ hữu tỉ, $x=p/q,(p,q)=1. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]