|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
01-11-2017, 02:51 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2017 Bài gởi: 3 Thanks: 2 Thanked 0 Times in 0 Posts | Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
------------------------------ thay đổi nội dung bởi: 2M, 03-11-2017 lúc 01:52 PM |
03-11-2017, 02:17 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 6 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Trích:
\[\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin y}} \ge \frac{4}{{\sin x + \sin y}} = \frac{2}{{\sin \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}}} \ge \frac{2}{{\sin \frac{{x + y}}{2}}};\;(1)\] Với các số thực $a;\,b>0$, lại theo bất đẳng thức Bernouli ta có \[\begin{array}{l} {a^n} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} + n.{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{n - 1}}\left( {a - \frac{{a + b}}{2}} \right)\\ {b^n} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} + n.{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{n - 1}}\left( {b - \frac{{a + b}}{2}} \right) \end{array}\] Cộng lại ta có được \[{a^n} + {b^n} \ge 2.{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\quad\forall\,a;\,b>0;\;(2)\] Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có \[\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}B}}} \right) \ge {\left( {\frac{{\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}}}}{2}} \right)^n} \ge {\left( {\frac{1}{{\sin \frac{{A + B}}{2}}}} \right)^n} \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\] Đánh giá tương tự để có \[\begin{array}{l} \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}B}}} \right) \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\\ \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}B}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}C}}} \right) \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{A}{2}}}\\ \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}C}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}A}}} \right) \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{B}{2}}} \end{array}\] Cộng lại ta có điều cần chứng minh. | |
03-11-2017, 02:30 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 8 Thanks: 4 Thanked 1 Time in 1 Post | Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\sin^nx}$ trên $(0;\,\pi)$ có \[f^{"}\left( x \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right){{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^{n + 2}}x}} + \frac{n}{{{{\sin }^n}x}} > 0\quad\forall\,x\in (0;\,\pi)\] Vậy, $f(x)$ là hàm lồi trên $(0;\,\pi )$ nên theo bất đẳng thức tiếp tuyến ta có \[\begin{array}{l} f\left( A \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {A - \frac{{A + B}}{2}} \right)\\ f\left( B \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {B - \frac{{A + B}}{2}} \right) \end{array}\] Cộng lại sẽ có được \[\frac{{f\left( A \right) + f\left( B \right)}}{2} \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \frac{1}{{{{\sin }^n}\frac{{A + B}}{2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\] Tương tự rồi cộng lại sẽ có điều cần chứng minh. |
03-11-2017, 06:42 PM | #4 |
Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 2 Thanks: 1 Thanked 0 Times in 0 Posts | Chứng minh rằng $\sum_{\text{cyc}} \dfrac{1}{\left(\alpha \sin A+\beta\right)^n} \geq \sum \dfrac{1}{\left(\alpha \cos \frac{A}{2}+\beta\right)^n} \ (\alpha, \beta>0, n \in \mathbb{N}^*) $ |
04-11-2017, 01:05 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2014 Bài gởi: 10 Thanks: 3 Thanked 2 Times in 2 Posts | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|