German Mathematical Olympiad 2010 Class 12-13 Round 4 (National) 1st Day

[herr.casanova]

Bài 1.
Hai đường tròn $k $ và $l $ cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với $k $ tại $K $ và tiếp tuyến chung còn lại tiếp xúc với $l $ tại $L $. Chứng minh rằng đường thẳng $KL $ cắt hai đường tròn tạo nên hai dây cung có độ dài bằng nhau.

Bài 2.
$a,b,c $ là các số thực đôi một phân biệt. Chứng minh răng:
$\left ( \frac{2a-b}{a-b} \right )^2 + \left ( \frac{2b-c}{b-c} \right )^2 + \left ( \frac{2c-a}{c-a} \right )^2 \geq 5 $

Bài 3.
Một "câu chuyện vô hạn“ là một câu chuyện được viết trong một cuốn sách mà có bắt đầu chứ không có kết thúc. Các trang của cuốn sách được đánh số $1,2,3,\dots $.
Một tác giả muốn viết một câu chuyện vô hạn, mà ở đó trong mỗi trang một người lùn mới được giới thiệu. Những người lùn này thực hiện trên trang giấy một hoặc nhiều cuộc hội thoại, mỗi cuộc hội thoại có ít nhất hai người lùn (đã được giới thiệu) tham gia (gọi là một nhóm hội thoại). Số lượng các cuộc hội thoại trong một trang sách không bị giới hạn. Để cho cuốn sách thêm thú vị, nhà xuất bản yêu cầu tác giả phải thực hiện được yêu cầu sau:
Mỗi tập vô hạn các người lùn đều chứa một nhóm (ít nhất có hai người lùn) mà ở một thời điểm nào đó là một nhóm hội thoại, và chứa một nhóm có cùng số lượng người lùn mà không có bất kỳ thời điểm nào là một nhóm hội thoại.
Hỏi tác giả có thể thực hiện được yêu cầu của nhà xuất bản không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]