Topic về lý thuyết độ đo và xác suất

[pega94]

Bài 1: Cho ánh xạ $f:X\rightarrow Y$ và $A,B \subset X$. Chứng minh rằng $f(A)\cup f(B)=f(A\cup B)$ và $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$. Nếu đựoc cho thí dụ ở trừong hợp thứ 2 .
------------------------------

Nguyên văn bởi pega94

Bài 1: Cho ánh xạ $f:X\rightarrow Y$ và $A,B \subset X$. CHứng minh rằng $f(A)\cup f(B)=f(A\cup B)$ và $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$. Nếu đựoc cho thí dụ ở trường hợp thứ 2 .

Chứng minh đầu tiên chứng minh $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ trước cái đã. Ta thấy khi mà $A $ và $B $ khác trống thì lúc này $A\cap B\subset A$ và $A\cap B\subset B$ thành ra $f(A\cap B)\subset f(A)$ và $f(A\cap B)\subset f(B)$, $\Longrightarrow f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ câu hỏi đặt ra là khi nào đc quyền lấy hàm hai vế của đẳng thức tập hợp, chú ý định nghĩa $f(A)=\left \{ f(x)\in Y \mid x\in A \right \}$ mà trong đó $A\subset X$ với cái tên gọi là ảnh của một tập hợp qua ánh xạ $f $ .
Để chứng minh đẳng thức đầu tiên ta mới ghi ra từ từ như sau $f(A)\cup f(B)=f(A\cup B)$ là tương đương với hai điều xảy ra cùng lúc sau $f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup B)$ và $ f(A\cup B) \subset f(A)\cup f(B)$. Chứng minh $f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup B)$ trứơc dùng kỉ thuật tương tự như lời giải ở trên thì ta thấy $f(A)\subset f(A\cup B)$ và $f(B)\subset f(A\cup B)$ thành ra $f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup B)$ do vậy chỉ cần chứng minh $ f(A\cup B) \subset f(A)\cup f(B)$ điều này là dễ hiểu bởi vì $f(A\cup B)=\left \{ f(z)\mid z\in A\cup B \right \}$,$ f(A)=\left \{ f(x)\mid x\in A \right \}$ và $f(B)=\left \{ f(y)\mid y\in B \right \} $ mà $z\in A\cup B$ tức là $z\in A$ hoặc $z\in B$ một cách tự nhiên có đc đpcm .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]