|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
11-01-2018, 11:55 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 6 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Bài dãy số VMO 2018 Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và \[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} - \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
|
11-01-2018, 12:17 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Bài gởi: 149 Thanks: 26 Thanked 17 Times in 14 Posts | Dang u(n+1) =f (u(n)) |
11-01-2018, 12:44 PM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 11-01-2018 lúc 02:04 PM | |
The Following 2 Users Say Thank You to Thụy An For This Useful Post: | Le khanhsy (12-01-2018), NguyenHoang123 (11-01-2018) |
11-01-2018, 02:14 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Trích:
. __________________ https://www.facebook.com/thaygiaocht thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 11-01-2018 lúc 03:03 PM | |
11-01-2018, 03:07 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 139 Thanks: 3 Thanked 8 Times in 7 Posts | Lâu ngày quá vào làm bài dãy chơi . Ý a) dễ rồi chứng minh $|x_{n+1}-1| < \dfrac{1}{2}|x_n-1|$ như bạn ở trên ok. Ý b) mình chứng minh bằng quy nạp với lưu ý: *) Nếu $x_n >1$ thì $x_{n+1} < 1$ *) Nếu $x_n <1$ thì $x_{n+1} > 1$ (Dễ thấy do $f(x) = \sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$ là hàm nghịch biến trên tập xác định) Từ đó mình sẽ chứng minh: +) $x_n+x_{n+1} < 2$ nếu $x_n < 1$ +) $x_n+x_{n+1} > 2$ nếu $x_n > 1$ (Xét hàm $f(x) = x+\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$ là hàm đồng biến trên tập xác định) Đến đây thì quy nạp như sau: Giả sử $\displaystyle n \le \sum_{i=1}^n x_i \le n+1$. Ta chứng minh $\displaystyle n+1 \le \sum_{i=1}^{n+1} x_i\le n+2$. Thật vậy, +) Nếu $x_n > 1$ thì $x_{n+1} < 1$ nên $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} x_i =\sum_{i=1}^{n} x_i+x_{n+1} < (n+1)+1 = n+2$ Và do $x_n+x_{n+1}>2$ nên $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} x_i = \sum_{i=1}^{n-1} x_i+(x_n+x_{n+1}) > (n-1)+2 = n+1$. +) Nếu $x_n < 1$ thì làm ngược lại. P/s: Shout out to 2M . thay đổi nội dung bởi: duca1pbc, 11-01-2018 lúc 03:10 PM |
12-01-2018, 10:07 AM | #6 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: BH Bài gởi: 212 Thanks: 135 Thanked 345 Times in 92 Posts | Trích:
Ta có hàm số $f(x)=\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$ nghịch biến và $x_1<x_2$ nên ta có dãy $$x_2<x_4<\cdots<x_{2n}<1<x_1<\cdots<x_{2n+1}.$$ Suy ra $$\begin{cases}x_{2n+1}+x_{2n+2}=x_{2n+1}+f(x_{2n+ 1})>x_1+f(x_1)>2\\ x_{2n+2}+x_{2n+3}=x_{2n+2}+f(x_{2n+2})<x_2+f(x_2)< 2 \end{cases}$$ Suy ra $$\begin{aligned} S_{2n}&=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{2n}\\&=x_1+x_2+(x_3+ x_4)+\cdots+(x_{2n-1}+x_{2n})\\&>2+0+2+\cdots+2=2n \end{aligned}$$ và $$\begin{aligned} S_{2n}&=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{2n}\\&=x_1+(x_2+x_3) +\cdots+(x_{2n-2}+x_{2n-1})+x_{2n}\\&<2+2+2+\cdots+2+1=2n+1 \end{aligned}$$ Suy ra $2n<S_{2n}<2n+1$.\\ Chứng minh tương tuwjj ta cũng có $2n+1<S_{2n+1}<2n+2$. Từ đó ta có đpcm. | |
The Following 2 Users Say Thank You to nguyentatthu For This Useful Post: | Le khanhsy (12-01-2018), zinxinh (12-01-2018) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|