Bà i hình học VMO 2018 ngà y thứ nhất

[Thụy An]

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ với $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Lấy điểm $E$ trên cạnh $AB$ và điểm $F$ trên cạnh $AC$ sao cho $\widehat{DEB}=\widehat{DFC}$. Các đường thẳng DF,DE lần lượt cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Gọi $(I_1),(I_2)$ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEM,DFN$. Kí hiệu $(J_1)$ là đường tiếp xúc trong với $(I_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AB$ tại $K$, $(J_2)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(I_2)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AC$ tại $H$, $P$ là giao điểm của $(I_1)$ và $(I_2)$, $Q$ là giao điểm của $(J_1)$ và $(J_2)$ ($P,Q$ khác $D$)

1. Chứng minh $D,P,Q$ thẳng hàng.
2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHK$ và đường thẳng $AQ$ lần lượt tại $G$ và $L$ ($G,L$ khác $A$).Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DQG$ cắt đường thẳng $EF$ tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $DLG$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lê Phước 87]

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ với $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Lấy điểm $E$ trên cạnh $AB$ và điểm $F$ trên cạnh $AC$ sao cho $\widehat{DEB}=\widehat{DFC}$. Các đường thẳng DF,DE lần lượt cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Gọi $(I_1),(I_2)$ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEM,DFN$. Kí hiệu $(J_1)$ là đường tiếp xúc trong với $(I_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AB$ tại $K$, $(J_2)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(I_2)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AC$ tại $H$, $P$ là giao điểm của $(I_1)$ và $(I_2)$, $Q$ là giao điểm của $(J_1)$ và $(J_2)$ ($P,Q$ khác $D$)

1. Chứng minh $D,P,Q$ thẳng hàng.
2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHK$ và đường thẳng $AQ$ lần lượt tại $G$ và $L$ ($G,L$ khác $A$).Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DQG$ cắt đường thẳng $EF$ tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $DLG$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lê Phước 87]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ với $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Lấy điểm $E$ trên cạnh $AB$ và điểm $F$ trên cạnh $AC$ sao cho $\widehat{DEB}=\widehat{DFC}$. Các đường thẳng DF,DE lần lượt cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Gọi $(I_1),(I_2)$ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEM,DFN$. Kí hiệu $(J_1)$ là đường tiếp xúc trong với $(I_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AB$ tại $K$, $(J_2)$ là đường tròn tiếp xúc trong với $(I_2)$ tại $D$ và tiếp xúc với $AC$ tại $H$, $P$ là giao điểm của $(I_1)$ và $(I_2)$, $Q$ là giao điểm của $(J_1)$ và $(J_2)$ ($P,Q$ khác $D$)

1. Chứng minh $D,P,Q$ thẳng hàng.
2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHK$ và đường thẳng $AQ$ lần lượt tại $G$ và $L$ ($G,L$ khác $A$).Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DQG$ cắt đường thẳng $EF$ tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $DLG$.

Câu hình có thể tiếp cận như sau:

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[zinxinh]

Hai đường tròn (I1) ngoại tiếp tứ giác BDAE,(I2) ngoại tiếp tứ giác ADCF cắt nhau ở A và D.Hai dây EM của đường tròn (I1) và dây FN đường tròn (I2) cắt nhau ở P. Điểm chính giữa cung EM không chứa điểm A của đường tròn (I1) là K.Điểm chính giữa cung FN không chứa điểm A của đường tròn (I2) là H.Hai tiếp tuyến tại K của (I1),và tại H của (I2) cắt nhau tại Q.Đường tròn ngoại tiếp tam giác (AEF) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác (AHK) tại G và đường thẳng AQ tại L.Đường thẳng qua D song song với QG cắt LG tại J.
a)Chứng minh D,P,Q thẳng hàng
b)Chứng minh J nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Hai đường tròn (I1) ngoại tiếp tứ giác BDAE,(I2) ngoại tiếp tứ giác ADCF cắt nhau ở A và D.Hai dây EM của đường tròn (I1) và dây FN đường tròn (I2) cắt nhau ở P. Điểm chính giữa cung EM không chứa điểm A của đường tròn (I1) là K.Điểm chính giữa cung FN không chứa điểm A của đường tròn (I2) là H.Hai tiếp tuyến tại K của (I1),và tại H của (I2) cắt nhau tại Q.Đường tròn ngoại tiếp tam giác (AEF) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác (AHK) tại G và đường thẳng AQ tại L.Đường thẳng qua D song song với QG cắt LG tại J.
a)Chứng minh D,P,Q thẳng hàng
b)Chứng minh J nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Ý a có thể tiếp cận như sau

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[qhhh]

Câu b) là ý rất hay, ta có thể thấy AX,BY,CZ đồng quy trên đường thẳng Euler của ABC nên nó có 1 tổng quát như sau

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Tranminhngoc]

Cách a) thì ngắn, cách b) thì dài. Nhưng em vẫn post lên cho mọi người tham khảo.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]