$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(\ln\ln n\right)^{\ln n}}$
 

Bài 1. Dùng điều kiện Cauchy xét tính hội tụ của chuổi

$$a.\: \: 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n}+\cdots$$

$$b.\: \: \frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt[3]{10}}+\frac{1}{\sqrt[4]{10}}+\cdots+\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{10}}+\cdots$$

Bài 2. Xét tính hội tụ của chuỗi

$$a.\: \: \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n!}$$

$$b.\: \: \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(\ln\ln n\right)^{\ln n}}$$

Câu 2 a)
$\frac{1}{lnn!}=\frac{1}{ln1+ln2+.lnn}$
Mặt khác $ln1+ln2+...lnn<nln \Rightarrow \frac{1}{lnn!}< \frac{1}{nlnn}$
Nên $\frac{1}{lnn!}>\frac{1}{nlnn}$
Theo tiêu chuẩn tích phân$ \frac{1}{nlnn}$ là chuỗi PK
Nên chuỗi $\frac{1}{lnn!}$ PK theo đl so sánh


Câu 2 b)
Ta có $(lnlnn)^{lnn}=n^{ln(lnln(n)))}$
$ln(lnlnn)>2 với n>100 \Rightarrow \frac{1}{(lnlnn)^{lnn}}<\frac{1}{n^2 }$
Chuỗi $\frac{1}{n^2}$ là chuỗi hội tụ nên chuỗi ban đầu HT