Chứng minh định lý Taylor
 

Giả sử $f:\left( a,b \right)\to R$ khả vi liên tục cấp $n$ trên khoảng $(a,b)$ và có đạo hàm cấp $n+1$ tại mỗi điểm của khoảng $(a,b)$ có thể trừ ra điểm $x_{0}\in(a,b)$. Khi đó giữa điểm $x_0$ và điểm $x\in (a,b)$ bất kỳ tồn tại điểm $\xi $ sao cho

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}{(x_0)}}{k!}(x-x_0)^k+R_{n+1}(f;x)$$

trong đó

$$R_{n+1}(f;x)=\frac{1}{n!p}\left( \frac{x-x_0}{x-\xi} \right)\left( x-\xi \right)^{n+1}f^{(n+1)}(\xi),p\in R,p>0 $$

Lời giải

Giả sử $x>x_0$ xét hàm số

$$h(t)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\left( x-t \right)^{k}-\frac{(x-t)^p}{n!p}\lambda , x_{0}\leq t\leq x$$

trong đó $p\in R,p>0$, $\lambda$ là tham số.

Hàm $h(t)$ liên tục trên đoạn $[x_0,x], h(x)=0$ và có đạo hàm $h'(t)$ tồn tại với mọi $t\in [ x_0,x ]$. Ta chọn tham số $\lambda$ sao cho

$$h(x_0)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}\left( x-x_0 \right)^{k}-\frac{(x-x_0)^p}{n!p}\lambda$$

Với cách chọn đó hàm $h(t)$ thỏa mãn định lý Rolle trên đoạn $[x_0,x]$. Do đó $\exists \xi \in \left[ x_0,x \right]$ sao cho

$$h'(\xi )=\frac{-f^{(n+1)}(\xi )}{n!}\left( x-\xi \right)^n+\frac{(x-\xi)^{p+1}}{n!}\lambda =0$$

Thật vậy từ hệ thức $h(t)$ ta có:

$$h'(t)=-f'(t)+\frac{f'(t)}{1!}-\frac{f''(t)}{1!}+\frac{f''(t)}{2!}2(x-t)-...+\frac{f^{(n)}(t)}{n!}n(x-t)^{n-1}-\frac{f^{(n+1}(t)}{n!}(x-t)^n+\frac{(x-t)^{p-1}}{n^!})\lambda $$so sánh 2 hệ thức trên ta thu được

$$\lambda =f^{(n+1)}(\xi )(x-\xi )^{n-p+1}$$

trong hai trường hợp $p=n+1$ và $p=1$ ta thu được phần dư dạng Lagrange và phần dư dạng Cauchy
Cho em hỏi chổ lấy đạo hàm $h'(\xi)$ sao ra vậy vậy ạ

Chỗ đấy áp dụng định lý Rolle (hoặc định lý giá trị trung bình) cho hàm $h(t)$, từ đó thu được sự tồn tại của một điểm $\xi$ thỏa mãn hệ thức.

Nhưng mấy hệ thức bạn viết nhìn hơi kỳ, mình không hiểu cái gì với cái gì nữa.

Lấy đạo hàm cách nào cái hàm dài nhằn. anh lấy trong sách bác Mậu =P~

Do ký hiệu lằng nhằng nên em không giúp anh chi tiết được, nhưng nói chung hàm đấy là tổng của một số hàm đa thức và các đạo hàm của $f$, hơn nữa chỉ lấy đạo hàm một lần, khả năng là áp dụng Leibniz $(hg)'=h'g+hg'$ rồi cộng lại, nhóm các số hạng hợp lý là được.

Cũng có thể em bỏ sót mất điều gì đó. Em chỉ suy đoán dựa trên những gì em hiểu được thôi, anh tùy nghi áp dụng. :sexygirl:

Nguyên cái tổng sigma mà anh :!

$(\sum f_i)'=\sum f_i'$, còn mỗi $f_i$ thì là một tích $g_i h_i$, thì sẽ được $\sum g_i'h_i+\sum g_ih_i'$. Sau đó viết các $g_i, h_i, g_i', h_i'$ ra và nhóm các số hạng vào. khả năng là thế.

chém gió à anh +_+