Việt Nam TST 2010(Đề thi-Đáp án-Danh sách đội tuyển)
 

bài 2 chỉ cần xét phép nghịch đảo tâm A.chú ý rằng (APQ) tiếp xúc với cả (O1) và (O2)

mấy anh bên sư phạm kinh hình chắc chắn ai cũng làm ngon 1 bài.anh Rực giỏi số...không biết sao,chờ tin thôi

theo tớ thì TST năm nay Rực ko qua nổi đâu :(

Bài 1 năm nay là bài hình, bài 2 là số học.
Bài hình học yêu cầu chứng minh giao điểm của 2 tiếp tuyến tại P và Q luôn thuộc một đường thẳng cổ định chứ không như đề bài trên.

Bài 1: n không thỏa mãn khi và chỉ khi n là căn nguyên thủy mod 11.
Nếu n chia hết cho 11 thì đơn giản.
Nếu n nguyên tố cùng nhau với 11 thì xét 2 trường hợp:
TH 1:n không phải là căn nguyên thủy mod 11.Điều kiện đề bài tương đương với tồn tại $(k_1,k_2,h_1,h_2) $ sao cho $10 |k_1+k_2-h_1-h_2 $ và $11|n^{k_1}+n^{k_2}-n^{h_1}-n^{h_2} $,đồng thời hai bộ $(k_1,k_2),(h_1,h_2) $ (không tính thứ tự) phải khác nhau.
Tồn tại ước d của $10 $ và $<10 $ sao cho $11 |n^d-1 $.Nếu d=5 chọn $(k_1,k_2,h_1,h_2)=(9,10,4,5) $.Nếu $d=2 $ chọn $(k_1,k_2,h_1,h_2)=(3,10,1,2) $.Nếu $d=1 $ chọn $(k_1,k_2,h_1,h_2)=(3,10,1,2) $.Với các cách chọn trên ta đều có $n^{k_1} \equiv n^{h_1} (mod 11) $ và $n^{k_2} \equiv n^{h_2} (mod 11) $ nên thỏa mãn.

TH 2:n là căn nguyên thủy mod 11.Ta chứng minh không tồn tại a,b thỏa mãn,từ đó n thỏa mãn.
Ta nhận xét rằng $k_1 $ khác $h_1,h_2 $ (nếu không sẽ suy ra 2 bộ trùng nhau).Tương tự $k_2 $ khác $h_1,h_2 $
Khi đó ta có thể lấy a' sao cho $a'+k_1 \equiv 0 (mod 10) $ và chọn $k'_1=a'+k_1 (mod 10) $.$k'_2,h'_1,h'_2 $ tương tự.
Bộ số cũ thỏa đề bài khi và chỉ khi bộ số mới thỏa đề bài.Ở đây để cho quen mắt thì đổi kí hiệu n thành g.
Nếu $10| k'_2 $ thì $g^{h'_1} \equiv g^{h'_2} (mod 11) $ suy ra $h'_2 \equiv h'_1 (mod 10) $ suy ra $h'_2=h'_1 $.Nhưng như thế thì $k'_1+k'_2+h'_1+h'_2 \equiv 2(k'_1-h'_1) \equiv 0 (mod 10) $,suy ra $k'_1=h'_1 $,vô lý.
Xét trường hợp còn lại,ta có $g^{k'_1} \equiv g^{h'_1+h'_2} $.Suy ra $1+ g^{h'_1+h'_2}-g^{h'_1}-g^{h'_2} \equiv 0 (mod 11) $ hay $(g^{h'_1}-1)(g^{h'_2}-1) \equiv 0 (mod 11) $.Vậy một trong hai số $h'_1,h'_2 $ phải chia hết cho 10,suy ra trùng với $k'_1 $,vô lý.
Từ đó không tồn tại bộ $(k'_1,k'_2,h'_1,h'_2) $ thỏa nên cũng không tồn tại bộ $(k_1,k_2,h_1,h_2) $ thỏa.

Bài 2: Ta có $MB^2=MC^2 $ nên M thuộc trục đẳng phương của $(O_1) $ và $(O_2) $. Suy ra DM là trục đẳng phương của 2 đường tròn. Do đó A thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn.
$\Rightarrow AP.AB=AQ.AC \Rightarrow $ tứ giác BCPQ nội tiếp.
Gọi tiếp tuyến của $(O_1) $ là Px thì $\widehat{xPB}=\widehat{PBC}=\widehat{PQA} $ hay (APQ) tiếp xúc với $(O_1) $, tương tự suy ra (APQ) tiếp xúc với cả $(O_1) $ và $(O_2) $.
Tam giác APQ đồng dạng với ACB nên APQ không vuông. Suy ra tiếp tuyến tại P và Q phải cắt nhau tại S.
$SP^2=SQ^2 $ nên S thuộc trục đẳng phương của $(O_1) $ và $(O_2) $, hay S thuộc 1 đường thẳng cố định.

anh Vũ Đình Long làm hết thì phải

nhìn bài 3 hay hay, đoán kết quả là 1006 , chắc là ko đúng =p~

có thể nhận thấy là hình $4 \times 2n $ có thể lát kín bởi $4 $ hcn đơn và các hình chữ nhật kép.

Cứ mỗi lần ghép thêm hình chữ nhật $4\times 2n $ thì có thể bớt đi 1 hcn đơn của phần đã có và thêm vào $3 $ hcn đơn mới. Như vậy khi thêm $4 $ hàng thì số hcn đơn tăng lên $2 $. Do đó kết quả là $2008/2 + 2 = 1006 $.

Đó chỉ là một quan sát thôi, còn kết quả thực tế chắc là nhỏ hơn $1006 $ X_X

Chà ko biết Đà Nẵng thế nào nhĩ , cầu cho năm này có suất đi thi IMO chứ như năm ngoái thì buồn lắm :|

ui sao lại nghĩ vậy, niềm hy vọng của KHTN mà...
Cầu cho Quảng Ngãi có một người trong đội tuyển !

cho hỏi 3 bài làm trong mấy tiếng thế

Thời gian làm bài hình như là 180 phút.

thời gian là 4h30 phút . Năm nay bài số học và hình học nhẹ nhàng !

bác nào có đề thi sáng nay post lên đi. Thanks

ai có đề thi TST hôm nay ko post lên di

Ai có đề thi TST ngày 2 cho xin với.

Tớ chưa hỏi được đề nhưng nghe nói thì là gồm 3 bài: Bài 1: BDT ( Hình như ai cũng làm được), Bài 2: Số học, Bài 3: Tổ hợp.

TST2010
 

Con số này chắc là tối ưu đấy, cách lát hình $4 \times 2n $ như thế nào nhỉ? Bạn viết rõ hơn được không?

Dưới đây là cách lát cho hình $16\times 10 $, cho hình $4m\times 2n $ thì cứ kéo dài theo chiều ngang và dọc là xong.

có ai có đề thi hồi sáng không, cho xin với, cần gấp, cảm ơn nhiều

Đề ngày 2. Đề này chỉ nghe nói qua điện thoại, có thể còn chưa chính xác.

Bài 4. (6 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $16(a+b+c) \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b} + \frac{1}{c} $. Chứng minh rằng
$ \sum_{cyclic}{\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}} \le \frac{8}{9} $.

Bài 5. (7 điểm) Có n nước, mỗi nước có k đại diện (n > k > 1). Người ta chia n.k người này thành n nhóm mỗi nhóm có k người sao cho không có 2 người cùng nhóm đến từ 1 nước. Chứng minh rằng có thể chọn ra n người đến từ các nhóm khác nhau và đến từ các nước khác nhau.

Bài 6. (7 điểm) Gọi $S_n $ là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của $(1+x)^n $. Chứng minh rằng $S_{2n} + 1 $ không chia hết cho 3.

Đáp số 1006 là đúng rồi.

Có thể thấy rằng nếu n có biểu diễn trong cơ số 3 là $\sum_{k=0}^m a_k.3^k $ thì tổng bình phương các hệ số kia sẽ đồng dư với $(a_m+1)...(a_0+1) $, đó cũng chính là số các hệ số mà ko chia hết cho 3 (ở đây chú ý là $3|x^2-1 $ với mọi x nguyên tố cùng nhau với 3.
Quay lại bài toán, nếu có a_k =2 thì kết quả hiển nhiên đúng. Ta xét biểu diễn mà chỉ có 0 và 1. Gọi số các số bằng 1 là k thì k chẵn và hơn nữa $ (a_m+1)..(a_0+1)+1 \equiv 2^k+1=2 (\mod 3) $
Đến đây thì kết thúc bài toán.

Bài bất đẳng thức năm nay khá dễ ăn.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
$a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}} \ge 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(a+c)}{2}}, $
suy ra
$ \frac{1}{\left( a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3} \le \frac{2}{27(a+b)(a+c)}. $
Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ra
$\sum \frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3} \le \frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}. $
Hơn nữa, ta lại có $(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}. $ Vì vậy,
$\sum \frac{1}{\left( a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3} \le \frac{1}{6(ab+bc+ca)}. $ (1)
Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức cơ bản $(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c), $ ta suy ra
$16(a+b+c) \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{3(a+b+c)}{ab+bc+ca}, $
tức
$ab+bc+ca \ge \frac{3}{16}. $ (2)
Kết hợp (1) và (2), ta có ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{4}. $

Bài tổ hợp 5 thì chính là một trường hợp đặc biệt của định lí Hall trong Graph Theory.

Ta gọi một nước $X $ và một nhóm $Y $ có liên hệ với nhau nếu trong nhóm $Y $ có người của nước $X $. Khi đó ta có nước $X $ bất kì có liên hệ với đúng $k $ nhóm và một nhóm $Y $ bất kì có liên hệ với đúng $k $ nước khác nhau.
Khi đó một hợp $m $ nước bất kì thì sẽ có liên hệ với một hợp ít nhất $m.k/k = m $ nhóm khác nhau. Do đó theo định lý Hall thì sẽ có cách ghép $n $ nước với $n $ nhóm mà không có hai nước nào cùng liên hệ với một nhóm. ( chính là cách chọn ra $n $ người từ $n $ nước khác nhau và từ $n $ nhóm khác nhau).

Nếu không dùng định lý Hall thì có thể chứng minh bằng quy nạp theo kiểu định lý đó.

TST2010
 

Chắc có người trúng tủ bài này, vì bài này cổ điển quá, bao nhiêu sách, báo đã có in bài này rồi. Báo Toán học tuổi trẻ cũng đăng bài này rồi.

ngày 1 khtn anh Rực làm hết sạch....không biết ngày 2 thế nào đây....vòng nào cũng có 1 bài gần như ""tặng"" ;))điểm....:d
mấy bài còn lại ???
tham khảo định lý HALL [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Nhận xét chủ quan là mình thấy đề năm ngoái hay và khó hơn năm nay

Các tv MS khiếp quá! Đề vừa mang lên đã bị tơi tả rồi. :))

Bài tổ hợp ngày 2 có thể mở rộng được.Xem bài viết của anh VnKvant tại đây:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Nhận xét của riêng mình thì có lẻ lần này ai làm 5 bài trở lên (có thể có sơ sót) mới có suất trong đội tuyển.Cả 6 câu chỉ có câu 3 là tương xứng với mức độ một câu khó của đề TST.

4 niềm hi vọng của miền Nam,hi vọng có 1 người đạt được tấm vé!

Bài 6:

Ta có $(1+x)^{4n} =(1+x)^{2n}.(1+x)^{2n} = (\sum\limits_{i=0}^{2n}{{2n}\choose i }.x^i).(\sum\limits_{i=0}^{2n}{{2n}\choose i }.x^{2n-i}) $.

So sánh hệ số của $x^{2n} $ ở $2 $ bên ta có $\sum\limits_{i=0}^{2n}{{2n}\choose i}^2 = {{4n} \choose 2n} $.

Tiếp theo ta chứng minh ${{4n} \choose 2n} + 1 $ không chia hết cho $3 $.

$2n = \sum\limits_{i=0}^{k} a_i.3^i $

Trường hợp 1: các $a_i $ thuộc tập $\{0,1\} $, Khi đó $\sum\limits_{i=0}^{k} a_i = 2p $.
$4n = \sum\limits_{i=0}^{k} 2a_i.3^i $ và theo định lý Lucas(Lucas' Theorem [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...])
${{4n} \choose 2n} + 1 \equiv \prod\limits_{i=0}^{k}{{2a_i}\choose{a_i}} \equiv \prod\limits_{i=0}^{k}(a_k+1)\equiv \prod\limits_{i=0}^{k}2^{a_i} \equiv 2^{2p} + 1\equiv 2\pmod 3 $ (do $a_i = 0 $ hoặc $1 $).

Trường hợp 2: tồn tại $i $ nhỏ nhất mà $a_i = 2 $, khi đó hệ số tương ứng của $4n $ là $1 $. Do ${1\choose{2}} = 0 \equiv 0 \pmod 3 $ nên $ {{4n}\choose {2n}} + 1\equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod 3 $

Ngày 1 thì hầu hết cho làm tốt bài hình và một số sẽ làm tốt bài số học, bài tổ hợp thì mình nghĩ chỉ 1 vài bạn có thể hoàn thành trong thời gian thi. Ngày 2 thì mình tin sẽ có hai nhóm, một nhóm làm tốt bài bất đẳng thức và không tốt bài tổ hợp và ngược lại. Bài số học cuối cùng thì chắc chắn cũng không ít người làm được, nhưng cũng chẳng nhiều.

Do đó theo dự đoán của mình thì chắc vào đội tuyển 6 người thì ít nhất cũng phải 4 bài và làm được một phần của 1 trong 2 bài còn lại. Có lẽ khoảng 27 điểm trở lên.

Thực ra theo em nghĩ thì khó mà điểm thấp nhất là 27 được vì ngoài chuyện làm được thì còn phải trình bày cho nó sáng sủa, dùng bổ đề nào thì cũng phải chứng minh lại cẩn thận thì mới được điểm ( chẳng hạn như định lí Lucas chẳng hạn), nếu dùng luôn có khi không được điểm nào.
Giờ mới thấy ở ngoài tâm lí thoải mái suy nghĩ ngay ra hướng chứ trong phòng thi kể cũng tâm lí.

Mình nghĩ điểm vào đội tuyển năm nay không nhiều đến thế đâu.
Cứ chắc chắn 3,5-4 bài là OK!!!!!!
Không biết bao giờ thì có kết quả thi nhỉ?
Đúng theo lời anh Talent nói.ở ngoài thì nghĩ nhanh còn trong phòng thi thi chưa biết được.
Mong cho SP có người đi thi IMO.

Có thể như Talent nói, ngoài ra nó còn phụ thuộc vào sự phân bố điểm giữa các bài. Nhưng dường như vào vòng TST này thì những điểm trừ về trình bày sẽ được nương tay hơn (tất nhiên khônng phải là bỏ qua rồi). Nếu phân bố điểm là 6,6,8,6,6,8 thì có lẽ điểm ít nhất vẫn phải không thấp hơn 24.

Dù sao thì thi xong rồi, 1 đến 2 tuần sẽ có kết quả thôi. Hi vọng các bạn đã có một kì thi vui vẻ, được gặp gỡ với các bạn đồng môn.

Tự sướng cái đề đã =P~=P~=P~

xin hỏi chỗ này là tổng của các bình phương các hệ số hay bình phương của tổng các hệ số?
nếu là tổng của các bình phương các hệ số thì dùng kiến thức thi Đại Học cũng đc =.=
ta có:
${{(x+1)}^{2n}}{{(1+x)}^{2n}}={{(1+x)}^{4n}} $
vế trái của đẳng thức trên biến đổi thành $(\sum\limits_{i=1}^{2n}{C_{2n}^{i}{{x}^{i}})(\sum \limits_{i=1}^{n}{C_{2n}^{i}{{x}^{n-i}}})} $
và hệ số của ${{x}^{4n}} $ trong biểu thức trên là $\sum\limits_{i=1}^{2n}{{{\left( C_{2n}^{i} \right)}^{2}}} $(chính là ${{S}_{2n}} $)
hệ số của ${{x}^{4n}} $ ở vế phải đẳng thức bên trên là $C_{4n}^{2n} $
vậy ${{S}_{2n}}+1=C_{4n}^{2n}+1 $ không chia hết cho 3
:|
----------------------------------------------------
edit
chết thật,mod Traum post trước rồi,sorry vì bon chen :P

===
Bài này là bài khó của ngày 2 mà bạn nói là dùng kiến thức đại học.

Đúng là cái phần bạn làm thì tương đương với kiến thức đại học (cũng hơi nâng cao một chút) thật. Nhưng cái phần bạn chưa làm thì khó đấy. Ở đâu ra cái khẳng định hiển nhiên là $C_{4n}^{2n} + 1 $ không chia hết cho 3.

Nhận xét sơ qua về đề năm nay:

1. Đề năm nay không hủy diệt như đề năm ngoái. Bài nào thí sinh cũng có thể đào bới được gì đó, ngay cả bài 3.

2. Hai bài dễ nhất là bài 1 và bài 4. Có lẽ không có gì để bàn. Bài 4 ý đồ AM-GM là khá rõ ràng. Phần sau chỉ là những biến đổi đơn giản, quen thuộc. Tuy nhiên bài 4 cũng hạ gục không ít cao thủ.

3. Bài 2 là một bài khá đẹp. Không khó nhưng trình bày gọn gàng, chặt chẽ cũng không dễ.

4. Hai bài 5 và 6 có mức độ khó ngang nhau và đều thuộc dạng bài toán áp dụng một định lý cơ bản. Bài 5 liên quan đến định lý Hall, còn bài 6 liên quan đến định lý Lucas. Tuy nhiên bài 6 là bài dễ kiếm điểm hơn nhờ thí sinh có thể tìm được công thức tính $S_n $và xét được 1 vài trường hợp riêng.

5. Bài 3 rất khó và rất dễ nhầm lẫn. Do vậy các bạn nào nói làm được bài này cần kiểm tra lại kỹ càng. Tuy nhiên, cũng có thể kiếm điểm được bài này bằng 1 số "đóng góp", chẳng hạn: chứng minh hình chữ nhật 4x2n phủ được bằng cách dùng ít nhất 4 hình chữ nhật đơn, chỉ ra cách lát với 1006 hình chữ nhật đơn ...

6. Đề năm nay phân loại tốt hơn đề năm ngoái. Ai vượt qua được TST lần này thì thi IMO sẽ khá chắc.

7. Về dự đoán

Theo tôi thì ngày đầu bạn nào làm được 2 bài chặt chẽ là OK.

Với ngày 2, có thể có 1 số bạn làm được cả 3 bài, tuy nhiên số này có lẽ không nhiều, chỉ vào khoảng 1-3 bạn là cùng. Đa số sẽ chỉ làm được 2 bài ++. Trong đó có bạn bỏ bài 2, có bạn bỏ bài 3 và không ít bạn bỏ bài 1.

Tôi dự đoán điểm chuẩn sẽ vào khoảng 25 điểm. Sẽ thật sự hài lòng nếu có vài bạn đạt 30 điểm trở lên.