Một số bài tập lý thuyết tập hợp
 

99 có một số bài tập lý thuyết tập hợp, ACE nào quan tâm thì ta chiến. Mấy bài này không dễ xử lý, nhưng lại quan trọng để chứng minh một số kết quả nền tảng như : mọi cơ sở của không gian vector thì có cùng lực lượng.

Bài 1 : Chứng minh mọi tập vô hạn chứa một tập đếm được vô hạn (có bản số là $\aleph_0$). Ở đây tập vô hạn là tập có cùng lực lượng với một tập con thực sự nào đó của nó (nội dung định lý Dirichlet).

Bài 2 : Chứng minh tích Descartes $\mathbb{N}\times \mathbb{N} \sim \mathbb{N}.$

Bài 3 : Nếu $D$ là tập vô hạn và $E$ là tập hữu hạn, khi đó $card(D) = card(D\cup E).$

Bài 4 : Nếu $\alpha$ là bản số vô hạn (cardinal number), thì $\alpha +\alpha = \alpha$ và $\alpha \alpha = \alpha.$

Bài 5 : Cho hai tập X, Y. Khi đó tồn tại đơn ánh từ X vào Y hoặc từ Y vào X.

2/ C1: Thiết lập song ánh dùng hàm ghép cặp Cantor:
$
\pi(m,n) = \frac{1}{2}(m+n)(m+n+1)+n$
C2: Suy ra từ định lí
Nếu $B_{n}=(a_{1},a_{2},...), a_{j} \in A_{j}$ đếm được thì $B_{n}$ đếm được

99 giải bài 5 cho có tý không khí :))

Xét tập hợp $E$ gồm các cặp $(B,f)$ trong đó, $B$ là một tập con của $X$ còn $f\colon B\to Y$ là đơn ánh. Giả sử $X, Y$ đều khác rỗng thì tập $E$ vừa định nghĩa khác rỗng.

Trên $E$ ta xác định một quan hệ thứ tự $\leq$ như sau : $(B_1,f_1)\leq (B_2,f_2)$ nếu $B_1\subset B_2$ và $f_1$ là hạn chế của $f_2$ lên $B_1.$

Dễ thấy $(E,\leq)$ thỏa mãn tính chất : mỗi dây chuyền thì có phần tử chặn trên, nên theo bổ đề Zorn, trong $E$ tồn tại phần tử cực đại, ký hiệu là $(B,f).$ Nếu $B = X$ thì bài toán được giải quyết.

Nếu $B\neq X$ thì $f(B)$ phải bằng $Y,$ nếu không ta có thể xây dựng được cặp $(B',f')\in E$ và "lớn" hơn hẳn $(B,f),$ bằng cách bổ sung vào B một phần tử. Và khi $f(B)=Y,$ ta suy ra $card(X)\geq card(Y)$. Đây cũng là điều phải chứng minh.

Bài 1: Xét $A $ là tập vô hạn và $B $ là tập con thực sự của $A $ sao cho tồn tại song ánh $f: \, A\rightarrow B $.
Theo tiên đề chọn, lấy được 1 phần tử từ tập $A\setminus B $ vì tập này không rỗng.
Lại có $B $ cũng là tập vô hạn vì có song ánh hạn chể $f: \, B \rightarrow f(B) \subset f(A)=B $.
Tiếp tục quá trình trên, chọn được dãy con vô hạn đếm được.
Bài 3: hệ quả bài 1, xây dựng song ánh giữa $\mathcal{N} $ và $\mathcal{N}\cup E $.

Nội dung tiên đề chọn không phải như vậy anh ạ, nó chỉ khẳng định rằng tích Descartes vô hạn của một họ các tập khác rỗng là khác rỗng thôi.

Thế à, cứ nhớ mang máng là có thể chọn một phần tử từ tập khác rỗng:)) sorry

Em giải bài 5, nhưng không dùng tiên đề chọn. Chắc không đúng dụng ý của topic, nhưng em thấy nó đơn giản vì ta biết giữa 2 bản số bất kì thì ta luôn có:m=n, m<n, n<m nên bài 5 hiển nhiên. Đang nghĩ bài 1

Không đơn giản đến thế đâu bạn, 3 trường hợp bạn nêu lên là tính chất của thứ tự hoàn toàn, phải đi chứng minh tập các bản số là tập sắp tốt mới có.