[Thắc mắc] Tập mở trong không gian topo
 

Mình có một thắc mắc về tập mở trong không gian topo và không gian metric, mong mọi người giải đáp giúp :-x.

Chẳng hạn cho tập $Y = \{ a, b\}$ và $J = \{ \emptyset, \{a\} , Y\}$ thì $(Y, J)$ lập thành một không gian topo. Khi đó, theo định nghĩa, $\{a \}$ là một tập mở trong không gian này, trong khi nó không mở trong không gian metric $(Y, d)$.

Như thế, tính đóng-mở của tập hợp không đồng nhất giữa không gian metric so với không gian topo?

Cũng với câu hỏi tương tự, tính connectness và compactness có đồng nhất giữa không gian metric so với không gian topo?

Trong ví dụ của bạn, bạn phải định nghĩa metric trên không gian đó là gì chứ?
Không gian topo và metric là hai khái niệm khác nhau (dĩ nhiên rồi :ops:), bạn coi kĩ lại nhé. Tuy nhiên, một không gian metric được xem như là một không gian topo, với các tập mở là hợp của các hình cầu mở.
Còn khi chỉ nói không gian topo thôi (như ví dụ của bạn), thì được hiểu là không có metric nào trên đó (Theo mình biết thì có định lý về metric hoá không gian topo đó, bạn tham khảo thêm trong các sách).
Do đó, tính đóng, mở,... nói chung không thể đồng nhất được.
Xét trong một không gian metric nào đó, thì một tập mở đối với metric đã được định nghĩa cũng là tập mở đối với không gian topo sinh bởi metric đó thôi nhé.

Tập "mở" trong không gian topo chỉ là tên gọi có tính chất quy ước thôi : tập được gọi là mở nếu nó thuộc vào topo (mà topo là gì? Là một họ các tập con của không gian cho trước thỏa mãn một số tiên đề nào đó). Còn mở trong không gian metric mang tính chất hình học. Hai cái mở này về định nghĩa là hoàn toàn khác nhau. Tuy nhiên cái hay là có liên hệ nào đó, ví dụ khi nào không gian topo có thể metric hóa được?

Điều này chính xác là cái mà em đang kiểm tra :gach:. Sao người ta không gọi cái tên khác để khỏi nhầm lẫn với "mở" trong không gian metric nhỉ :D

Cái tên ý phù hợp vì trong trường hợp topo của không gian sinh bởi metric thì hai khái niệm mở là như nhau.