Định thức và số lớp của các trường bậc hai
 

Chứng minh rằng các trường bậc hai với định thức $5,8,11,-3,-4,-7,-8,-11 $ có số lớp $1 $.

Một chứng minh có thể xem trong: S. Lang, Algebraic Number Theory, p. 67.

Bài này dùng bài tập quen biết sau đây về các trường bậc hai: Cho $D $ là số nguyên khác $0 $ và $1 $ và là squarefree. Gọi $d $ là định thức của trường bậc hai $K=\mathbb{Q}(\sqrt{D}) $.
a)Chứng minh rằng $d=D $ nếu $D\equiv 1 (mod\; 4) $ , $d=4D $ nếu $D\equiv 2 $ hoặc $3 (mod\; 4) $.
b)Chứng minh rằng một cơ sở nguyên của$ K $ là $\{1,\sqrt{D}\} $ trong trường hợp thứ hai và $\{1,\frac{1}{2}(1+\sqrt{D})\} $ trong trường hợp thứ nhất và $\{1,\frac{1}{2}(d+\sqrt{d})\} $ trong cả hai trường hợp.