[VMO 2013] Bài 5 - Phương trình hàm
 

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$

Mình nek, mà mình quên chứng minh duy nhất rồi=P~:barrywhite::redeye:
Hình như ko có cái ở dưới.

Câu này chỉ ra $f(x)=2013x$ thôi mà

thay vào bên mũ 2 bên mũ 3 :lolz2:

$y=0$ nó ra cái $xf(f^2(x)=f^3(x)$ cơ mà.

Bạn thay sai rồi kìa. $f(f^2(x))=2013^2.\sqrt{x}$ thôi.

ừm vậy là sai rồi :sad:

z mới đúng đó anh :cuoideu::angrybird:

Trông thì có vẻ là 2 nhưng nếu làm kĩ chút xíu thì chỉ có 1 thôi... Đó là $f(x)=2013x. $

Dù gì cũng đã rồi, nói chung là đến đoạn
$$[f(x)-2013x][f^2(x)-2013^2x]=0, \forall x \not= 0$$
Ai xử lý chặt chẽ đoạn sau hộ mình.
Năm nay có mem nào "thử lại thấy thỏa mãn không ta" :))

giả sử tồn tại $x_0 >0$ và $x_0 \neq 1$
rồi thay $x=x_0, y=-1$ là được

Nháp đến đoạn này mình chọn x>0 để thấy rằng còn 1 hàm :D, lâu rồi không làm không biết có được không. :[

Nhớ là phải xét tiếp trường hợp f(x) vừa =2013x vừa bằng tiếp cái kia :[

Với trường hợp 2:
$f^2(x)=2013^2x $
$f^2(-x)=-2013^2x $
nên $f^2(x)+f^2(-x)=0 => f^2(x)=f^2(-x)=0 $
Vô lí với điều kiện $f(1)=2013 $
Mình làm chỗ này như vậy đó.

Đây là cách làm của mình, không biết đúng hay sai nữa :gach:
Thay $y=0$ được $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x) \forall x\epsilon \mathbb{R}$
$VT=f^{3}(x)+f^{3}(y)-y.f(f^{2}(x))-xf(f^{2}(y))$
$VP=f^{3}(x)+f^{3}(y)-f(y)f^{2}(x)-f(x)f^{2}(y)$
$\Rightarrow y.f(f^{2}(x))+xf(f^{2}(y))=f(y)f^{2}(x)+f(x)f^{2}( y)$(1)
Từ $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x)$ suy ra $f(f^{2}(x))=\frac{f^{3}(x)}{x} \forall x\neq 0$, thay lại vào (1) ta được:
$\frac{y}{x}.f^{3}(x)+\frac{x}{y}.f^{3}(y)=f(y)f^{ 2}(x)+f(x)f^{2}(y) \forall x,y \neq0$
$\Leftrightarrow f^{2}(x).[\frac{y}{x}.f(x)-f(y)]+f^{2}(y).[\frac{x}{y}.f(y)-f(x)]=0$
$\Leftrightarrow [y.f(x)-xf(y)].[\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}]=0 \forall x,y \neq0$
*Xét trường hợp $y.f(x)-xf(y)=0 \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}=a=const \forall x,y \neq0$
suy ra $f(x)=ax$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ $ \Rightarrow f(x)=2013x \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$, thử lại thấy thỏa mãn
*Xét trường hợp $\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}=0$ $\Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{x}=\frac{f^{2}(y)}{y}=b \forall x,y \neq0$, suy ra $f^{2}(x)=bx$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ hoặc $a=-2013$
suy ra $f(x)=2013\sqrt{x}$ hoặc $f(x)=-2013\sqrt{x}\forall x>0$, thử lại thấy không thỏa mãn
Vậy $f(x)=2013x$ $\forall x\epsilon \mathbb{R}$ là nghiệm hàm duy nhất :angrybird: