Trích:
Nguyên văn bởi Short_list  Bài 12. Chứng minh rằng nếu $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$ là các số thực dương thỏa mãn $abcd=1,$ thì
\[ a+b^2+c^3+d^4 \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d ^4}.\] |
Mình thử đưa ra ý tưởng (có thể chứa đựng những sai sót).
Đặt $f(x)= x-\frac{1}{x}$ với $x\in (0,\infty)$.
Nhận xét: - Nếu $x, y$ là số thực dương sao cho $xy \ge 1$ thì $$f(x)+f(y)\ge 2f(\sqrt{xy})\ge 0.$$
- $d\ge 1\ge a,\, ad^4\ge 1$.
- Vì $ac \le c \le d$ nên $d^2b \ge 1$.
- $abd^2 \ge abcd=1$.
- Nếu $ba^2 \le 1$ thì $ba^2 \le \sqrt[3]{ba^2} \le c$. Do đó $$ bd^2c^3\ge (abcd)^2=1.$$
- Nếu $ba^2 >1$ thì $b^2c^3\ge (ab)(a^{7/3}b^{2/3})= (ba^2)^(5/3)>1$.
Trường hợp 1: $ba^2 \le 1$
Ta có $$ f(a)+f(b^2)+f(c^3)+f(d^4) \ge\left[f(a)+f(bd^2)\right]+\left[f(c^3)+f(bd^2)\right].$$
Tiếp theo
$$VP \ge 2f(\sqrt{abd^2})+ 2 f(\sqrt{bd^2c^3}) \ge 0.$$
Trường hợp 2: $ba^2 >1$
Ta có
$$f(a)+f(d^4) \ge 2f(\sqrt{ad^4}) \ge 0,$$
và
$$f(b^2)+f(c^3) \ge 2f(\sqrt{b^2c^3}) \ge 0.$$
Suy ra ĐPCM.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=1$.
Hi vọng không có sai sót nghiêm trọng
!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]